Математическое ожидание случайной величины

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, что случайная величина – это величина, значение которой зависит от того, каким элементарным событием закончился случайный эксперимент.

Можно считать, что случайная величина – это функция, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного эксперимента.

Случайные величины обычно обозначают большими буквами латинского алфавита.

Распределением вероятностей, или просто распределением, случайной величины, называют закон, который каждому значению случайной величины ставит в соответствие вероятность того, что величина примет это значение.

Основное свойство распределения. Сумма всех вероятностей в распределении любой дискретной случайной величины равна 1.

Это свойство можно объяснить тем, что сумма вероятностей всех значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий эксперимента.

Рассмотрим случайную величину , распределение которой задано таблицей.

Если бы у нас был числовой набор и мы знали частоты его значений, то могли бы найти среднее значение как сумму произведений различных значений и их частот. Но в данном случае мы имеем дело не с набором чисел, а со случайной величиной. И вместо частот нам известны вероятности значений случайной величины.

Если умножить значения случайной величины на их вероятности и сложить эти произведения, то получится некоторое среднее значение случайной величины. Это среднее называют математическим ожиданием. Математическое ожидание случайной величины икс обозначают  или .

Буква Е в обозначении от английского слова expectation, которое переводится как «ожидание». Обратите внимание, что она пишется прямо, а не курсивом.

Скобки в обозначении математического ожидания используют только при необходимости.

Математическое ожидание случайной величины – это сумма произведений значений этой величины и их вероятностей.

Иногда математическое ожидание называют ожидаемым значением или средним значением случайной величины. Измеряется математическое значение случайной величины в тех же единицах, что и сама величина.

Пример. Пусть случайная величина  – число очков, выпавших при однократном бросании игрального кубика. Вероятности выпадения каждой грани одинаковы и равны .

Распределение случайной величины  удобно задать таблицей.

Найдём математическое ожидание случайной величины . Для этого подставим в формулу соответствующие значения из таблицы и выполним вычисления.

Чтобы найти математическое ожидание в электронной таблице используют функцию СУММПРОИЗВ().

Посмотрите, как с помощью электронной таблицы найдено математическое ожидание случайной величины , рассмотренной в примере.

Пример. В коробке лежат 2 электрические лампочки, одна из которых неисправна. Лампочки из коробки извлекают по одной, пока не появится годная лампочка.

Число извлечённых лампочек – случайная величина. Найдём её математическое ожидание.

Пусть буква И означает исправную лампочку, а буква Н – неисправную лампочку.

В рассматриваемом эксперименте возможны 2 элементарных события: 1) исправную лампочку достали с первой попытки, неисправная лампочка осталась лежать в коробке (ИН); 2) сначала достали неисправную лампочку, а потом – исправную (НИ).

При случайном извлечении лампочек из коробки эти элементарные события равновозможны. Поэтому вероятность каждого из них равна .

Пусть  – число лампочек, которое надо извлечь. Для первого элементарного события , так как исправную лампочку достали с первого раза. Для второго элементарного события , так как исправную лампочку достали второй.

Таблица распределения случайной величины.

Найдём математическое ожидание случайной величины . Для этого подставим в формулу соответствующие значения из таблицы и выполним вычисления.

Физический смысл математического ожидания

Физический смысл математического ожидания можно проиллюстрировать с помощью диаграммы распределения вероятностей случайной величины.

Если представить, что диаграмма вырезана, например, из листа металла, то математическое ожидание – это точка, в которую проецируется центр масс диаграммы.

Пример. Приведена диаграмма распределения случайной величины  «сумма выпавших очков при двукратном бросании игральной кости».

Воспользовавшись таблицей распределения вероятностей случайной величины , найдём её математическое ожидание. Подставим в формулу соответствующие значения из таблицы и выполним вычисления.

Если «подставить» под точку с абсциссой 7 опору, то диаграмма будет находиться в равновесии.

Таким же свойством обладает среднее арифметическое. Оно служит центром масс набора чисел.

Схожесть свойств среднего арифметического и математического ожидания подчёркивает их единую природу.

Можно сказать, что математическое ожидание случайной величины – это теоретический аналог среднего арифметического набора данных.

Поговорим о двух важных применениях математического ожидания.

Лотерея

С одной стороны, лотерея должна быть привлекательной – должны быть большие выигрыши, а выигрышных билетов должно быть много. С другой стороны, лотерея должна приносить доход её организаторам, то есть суммарный выигрыш должен быть меньше общей выручки. Добиться этого наверняка невозможно, так как неизвестно, сколько билетов будет распродано. Значит, этого нужно добиться с большой вероятностью. Здесь на помощь приходит теория вероятностей. Она помогает установить цену билета, при которой лотерея наверняка принесёт прибыль.

Пример. В лотерее должны быть большие выигрыши. В таком случае определим, что на 1 % билетов выпадает выигрыш 2000 рублей.

Выигрышных билетов должно быть немало. Тогда пусть 10 % билетов дают выигрыш 200 рублей.

Участник лотереи случайным образом выбирает 1 билет.

Рассмотрим случайную величину  «выигрыш участника».

Составим таблицу распределения этой случайной величины.

Случайная величина может принимать значения 0, 200 и 2000. Так как выигрыш 2000 рублей выпадает только на 1 % билетов, то вероятность этого значения равна 0,01. Выигрыш 200 рублей дают 10 % билетов, а значит, вероятность этого значения равна 0,1. Сумма вероятностей должны быть равна 1, а значит, вероятность того, что участник лотереи ничего не выиграет, равна 0,89.

Важно отметить, что мы предполагаем, что один процент крупных выигрышей не входит в 10 % выигрышных билетов.

Найдём математическое ожидание выигрыша. Для этого подставим соответствующие значения из таблицы в формулу и выполним вычисления.

Это означает, что в среднем выигрыш на 1 билет составляет 40 рублей. Но чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш. Например, если назначить цену билета 50 рублей, то средний доход от продажи билета будет равен 10 рублям.

Если бы некто решил купить все билеты, то ему достались бы все выигрыши, но в среднем он достоверно потерял бы по 10 рублей на каждый купленный билет.

Все лотереи устроены так: математическое ожидание выигрыша на один билет меньше цены билета. Это условие является непременным. Оно обеспечивает доход организаторам лотереи. Человек, который решил купить билет и сыграть в лотерею, должен это понимать.

Чем больше математическое ожидание выигрыша, тем больше билетов требуется, чтобы организатор лотереи получил ощутимый доход.

Обязательное страхование автомобильной гражданской ответственности (ОСАГО)

Полис ОСАГО должен иметь каждый владелец автомобиля. Страховая компания, продавая автовладельцу полис, берёт на себя обязательства возместить ущерб в пределах определённой суммы, который этот автовладелец нанесёт окружающим в случае дорожно-транспортного происшествия, случившегося по его вине.

В данном случае страховая выплата является случайной величиной. Но чтобы определить стоимость полиса, пока ДТП не произошло, нужно знать математическое ожидание страховой выплаты на один застрахованный автомобиль.

Стоимость страхового полиса складывается из математического ожидания страховой выплаты и доли, идущей в доход страховой компании, из которого выплачивается заработная плата сотрудникам, оплачивается аренда и содержание офисов, налоги и все текущие расходы.

Выполним задания.

Задание первое. В таблице дано распределение вероятностей некоторой случайной величины .

Чему равно математическое ожидание этой случайной величины?

Решение.

Задание второе. Найдите математическое ожидание случайной величины , которая принимает все нечётные целые значения от 3 до 15 с равными вероятностями.

Решение.

До встречи на занятиях!