Показательные неравенства

Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах монотонности показательной функции  при  и . Вы знаете, что эта функция возрастает при а  и убывает при .

Если а , то есть функция  является возрастающей, тогда справедливо следующее утверждение: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Если , то есть функция  является убывающей, тогда справедливо следующее утверждение: для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Рассмотрим некоторые виды показательных неравенств и методы их решения.

Первый метод: приведение обеих частей неравенства к одному основанию.

Решим неравенство 1: .

Решение.

Поскольку , а , то исходное неравенство равносильно неравенству .

Основание степени , следовательно, функция  возрастающая.

Значит, можем записать, что  

Отсюда .

Ответ: решением исходного неравенства является .

Решим неравенство 2:  .

Решение.

Поскольку , то функция  убывающая. Значит, данное неравенство равносильно следующему .

Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим неравенство . Область определения этого неравенства .

Перенесём слагаемые из левой части неравенства в правую .

Приведём подобные. Имеем .

Решениями последнего неравенства будут  и .

Мы с вами уже говорили, что область определения предыдущего неравенства

. Тогда решением исходного неравенства является объединение промежутков

Не забудем записать ответ .

Второй метод: вынесение общего множителя за скобки.

Решим неравенство 1: .

Решение.

 ,

Тогда исходное неравенство мы можем переписать в следующем виде .

Теперь в левой части последнего неравенства вынесем общий множитель .

Вычислим выражение в скобках. Получим .

Разделим обе части получившегося неравенства на 13.

Получим  , или  .

, то есть имеем возрастающую функцию.

Значит, можем записать . Отсюда .

Запишем ответ: .

Решим неравенство 2: .

Решение.

В левой части неравенства вынесем  за скобки, в правой части  за скобки. Получим равносильное неравенство .

Посчитаем выражения в скобках. Получим

Теперь разделим обе части неравенства на , при этом не забудем поменять знак неравенства на противоположный.

Сократим. Получим . Или.

Заметим, что в получившемся неравенстве равны не основания степени, а показатели. Разделим обе части этого неравенства на . Тогда имеем неравенство  или .

.

, то есть наша функция убывающая.

Значит .

Не забудем записать ответ: .

Метод 3: решение неравенства при помощи замены , где .

Решим неравенство: .

Решение. Преобразуем исходное неравенство. Первое слагаемое .

Тогда наше неравенство примет следующий вид: .

Введём замену , где, . Тогда получившееся неравенство примет следующий вид: .

Найдём корни уравнения .

Его корнями будут  и .

Тогда наше неравенство можем разложить на следующие множители . Решим это неравенство методом интервалов.

Видим, решением данного неравенства является промежуток от минус одной второй и до четырёх.

Когда мы вводили замену, то говорили, что .

Значит, решением последнего неравенства будет промежуток .

Вернёмся к замене. Тогда получаем, что , или .

, имеем возрастающую функцию.

Значит, , или .

Запишем ответ: .

Неравенство 2: .

Решение. Обратите внимание, первое слагаемое мы можем записать, как , а последнее представить, как .

Тогда наше исходное неравенство мы можем привести к следующему виду: .

Разделим обе части неравенства на . Получим .

Введём замену , где  и поменяем местами второе и третье слагаемые.

Тогда наше неравенство примет вид .

Решим уравнение .

Применяя теорему Виета, получаем, что это уравнение имеет два корня  и .

Первый корень не подходит, так как при вводе замены, мы говорили, что  

Значит, решением неравенства будет .

Вернёмся к замене. Получим неравенство  , или .

. Значит, функция убывающая.

Тогда имеем неравенство .

Не забудем записать ответ .