Показательные уравнения

Показательным называется уравнение, содержащее переменные только в показателе степени.

Рассмотрим простейшее показательное уравнение , где  и .

Область значений функции  – множество положительных чисел. Поэтому в случае   уравнение не имеет решений.

Пусть . Функция  на промежутке от  возрастает при , убывает при   и принимает все положительные значения.

Тогда уравнение   при любом ,  и   имеет единственный корень.

Для того, чтобы его найти, надо  представить в виде . Очевидно, что  является решением уравнения .

Вообще, решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения.

Метод 1: приведение обеих частей уравнения к одному основанию.

Уравнение 1: .

Решение. 1 в правой части нашего уравнения мы можем представить, как . Тогда исходное уравнение равносильно уравнению .

Так как две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, то можем приравнять показатели наших степеней.

Имеем .

Решим это уравнение. Применим теорему Виета.

Тогда наше уравнение имеет два корня  и .

Запишем ответ: , .

Уравнение 2: .

Решение. Приведём обе части уравнения к одному основанию.

В свою очередь,  .

Тогда наше уравнение примет вид:  .

Так как основания наших степеней теперь равны, то .

Упростим последнее уравнение, получим .

Отсюда  .

Не забудем записать ответ.

Второй метод: вынесение общего множителя за скобки в уравнениях, в левой части которых записана сумма или разность степеней с одним основанием.

Уравнение 1: .

Решение. Вынесем в левой части уравнения выражение за скобки. Получим уравнение .

Посчитаем значение выражения в скобках. Получим .

Разделим левую и правую части уравнения Получим

 – это есть

Видим основания наших степеней равны. Значит, можем приравнять показатели степеней. Имеем .

Отсюда .

Запишем ответ.

Уравнение 2: .

Решение. Вынесем в левой части уравнения, в правой части – за скобки.

Получим уравнение .

Упростим. Получим .

Разделим обе части последнего уравнения на произведение . . Сократим. Имеем уравнение .

Заметим, что в получившемся уравнении равны не основания степени, а показатели. Разделим обе части этого уравнения на . Тогда имеем . Или .

Теперь можем приравнять показатели. Получим .

Отсюда .

Не забудем записать ответ.

Третий метод: решение уравнения при помощи замены, где .

Уравнение 1: .

Решение: Введём замену , .

Тогда исходное уравнение примет вид .

Решим это уравнение.

Видим, что это уравнение имеет следующие корни   и .

Корень равный не подходит, так как по условию .

Вернёмся к замене. Тогда   или  .

Основания степеней равны, значит, можем приравнять показатели. Имеем .

Запишем ответ.

Уравнение 2: .

Решение. Для начала приведём слагаемые в левой части уравнения к одному основанию. Получим  или .

Теперь введём замену , .

Тогда исходное уравнение примет вид .

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого из первых двух слагаемых вынесем общий множитель  за скобку, а из вторых  за скобки.

Имеем .

Затем вынесем общий множитель  за скобки. Получим .

Видим, во вторых скобках записана разность квадратов. Воспользуемся формулой

Тогда наше уравнение будет иметь следующий вид .

Чтобы левая часть уравнения была равна 0, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0.

Тогда наше уравнение имеет следующие корни ,  и .

Последний корень равный  не подходит, так как по условию.

Вернёмся к замене. Имеем  и .

Видим, что первое уравнение имеет , второе .  

Не забудем записать ответ , .