Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения

Напомним, что уравнением называется равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.

Уравнение с одной переменной имеет вид:

,

где ,  – некоторые функции переменной .

Корнем (решением) уравнения с одной переменной называется число , при подстановке которого вместо  в обе части уравнения получается верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его кони или доказать, что корней нет.

Множество значений переменной , при которых определены функции  и , называется областью определения уравнения или областью допустимых значений переменной (ОДЗ).

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Теоремы о равносильности уравнений:

1. .

2.  для любого числа .

3.  для любого числа .

4. , если  имеет смысл в области определения уравнения.

5. , если  определена
и не обращается в нуль в области определения уравнения.

6. .

7. .

Напомним, что уравнение вида , где  и , называется линейным. Число корней уравнения зависит от значений  и .

Линейное уравнение при  имеет единственное решение ;

при ,  – не имеет решений;

при ,  – принимает вид  и имеет бесконечное множество решений.

Давайте решим следующее уравнение .

Решение.

А теперь давайте поговорим о квадратных уравнениях. Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида:

,

где  – переменная, , , , причём .

Число корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта, который вычисляется по формуле: .

Если , то уравнение имеет два различных действительных корня:

.

Если , то уравнение имеет два равных действительных корня:

.

Если , то уравнение не имеет корней.

Уравнение вида , где , называется приведённым квадратным уравнением.

Уравнения вида , ,  называются неполными квадратными уравнениями.

Неполные квадратные уравнения обычно решаются без применения общей формулы.

В уравнении  (, ) левая часть раскладывается на множители:

, откуда , .

Уравнение  () не имеет корней, если знаки  и  совпадают;

имеют два корня: , , если знаки  и  различны.

Уравнение  имеет два равных корня: .

Важное значение при решении и исследовании квадратных уравнений имеет теорема Виета. Вспомним её.

Итак, теорема Виета (прямая):

если квадратное уравнение  имеет корни,

то .

Для корней приведённого квадратного уравнения  формулы Виета имеют следующий вид:

Теорема Виета (обратная):

если сумма каких-нибудь чисел  и  равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

Если дискриминант квадратного трёхчлена  положителен, то трёхчлен можно представить в виде , где ,  – корни уравнения .

Если дискриминант квадратного трёхчлена э равен нулю, то трёхчлен можно представить в виде , где  – корень уравнения .

Решим следующее уравнение .

Решение.

Перейдём к рациональным уравнениям. Напомним, что функция вида

,

где , , , , …, ,  – некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Целым рациональным уравнением называется уравнение вида , где  – целая рациональная функция.

Дробно-рациональным уравнением называется уравнение вида , где  и  – многочлены.

При решении рациональных уравнений используются метод разложения на множители и метод замены.

Решим следующее уравнение .

Решение.

Также напомним, что иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Основные методы решения иррациональных уравнений:

1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2. Замена переменной.

3. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.

4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.

Решим следующее уравнение .

Решение.