Напомним, что уравнением называется равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.
Уравнение с одной переменной имеет вид:
,
где
,
–
некоторые функции переменной
.
Корнем
(решением) уравнения с одной переменной называется число ,
при подстановке которого вместо
в
обе части уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение – значит найти все его кони или доказать, что корней нет.
Множество
значений переменной ,
при которых определены функции
и
,
называется областью определения уравнения или областью допустимых
значений переменной (ОДЗ).
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.
Теоремы о равносильности уравнений:
1.
.
2.
для
любого числа
.
3.
для
любого числа
.
4.
,
если
имеет
смысл в области определения уравнения.
5.
,
если
определена
и не обращается в нуль в области определения уравнения.
6.
.
7.
.
Напомним,
что уравнение вида ,
где
и
,
называется линейным. Число корней уравнения зависит от значений
и
.
Линейное
уравнение при имеет единственное решение
;
при
,
–
не имеет решений;
при
,
–
принимает вид
и
имеет бесконечное множество решений.
Давайте
решим следующее уравнение .
Решение.
А теперь давайте поговорим о квадратных уравнениях. Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида:
,
где
–
переменная,
,
,
,
причём
.
Число
корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта, который
вычисляется по формуле: .
Если
,
то уравнение имеет два различных действительных корня:
.
Если
,
то уравнение имеет два равных действительных корня:
.
Если
,
то уравнение не имеет корней.
Уравнение
вида ,
где
,
называется приведённым квадратным уравнением.
Уравнения
вида ,
,
называются
неполными квадратными уравнениями.
Неполные квадратные уравнения обычно решаются без применения общей формулы.
В
уравнении (
,
)
левая часть раскладывается на множители:
,
откуда
,
.
Уравнение
(
)
не имеет корней, если знаки
и
совпадают;
имеют
два корня: ,
,
если знаки
и
различны.
Уравнение
имеет
два равных корня:
.
Важное значение при решении и исследовании квадратных уравнений имеет теорема Виета. Вспомним её.
Итак, теорема Виета (прямая):
если
квадратное уравнение имеет
корни,
то
.
Для
корней приведённого квадратного уравнения формулы
Виета имеют следующий вид:
Теорема Виета (обратная):
если
сумма каких-нибудь чисел и
равна
,
а их произведение равно
,
то эти числа являются корнями квадратного уравнения
.
Если
дискриминант квадратного трёхчлена положителен,
то трёхчлен можно представить в виде
,
где
,
–
корни уравнения
.
Если
дискриминант квадратного трёхчлена э
равен нулю, то трёхчлен можно представить в виде
,
где
–
корень уравнения
.
Решим
следующее уравнение .
Решение.
Перейдём к рациональным уравнениям. Напомним, что функция вида
,
где
,
,
,
,
…,
,
–
некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.
Целым
рациональным уравнением называется уравнение вида ,
где
–
целая рациональная функция.
Дробно-рациональным
уравнением называется уравнение вида ,
где
и
–
многочлены.
При решении рациональных уравнений используются метод разложения на множители и метод замены.
Решим
следующее уравнение .
Решение.
Также напомним, что иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.
Основные методы решения иррациональных уравнений:
1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
2. Замена переменной.
3. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.
4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.
Решим
следующее уравнение .
Решение.