Преобразование выражений, которые содержат квадратные корни

Занятие будет посвящено преобразованию выражений, которые содержат квадратные корни.

Прежде чем приступить к выполнению заданий, напомним, что выражения, которые содержат корни, называются иррациональными.

Выражения, стоящие под знаком корня, называются подкоренными.

Подкоренные выражения принимают только неотрицательные значения. Например, выражения  и  не имеют смысла, так как корня из отрицательного числа не существует.

Для вычисления значений корней и выполнения действий с корнями применяются следующие свойства.

Свойство 1. Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Свойство 2. Квадратный корень из частного равен частному корней делимого и делителя, если делимое – неотрицательное число, а делитель – положительное.

Эти два свойства применяются как слева направо, так и справа налево.

Свойство 3. Квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

Теперь давайте напомним, как вынести множитель за знак корня и как внести множитель под знак корня.

Чтобы вынести множитель за знак корня, надо:

1)    представить подкоренное выражение в виде произведения, содержащего квадрат выражения;

2)    применить свойство корня из произведения;

3)    найти корень из квадрата выражения;

4)    записать произведение полученного множителя и корня.

Чтобы внести множитель под знак корня, надо:

1)    представить неотрицательный множитель в виде квадратного корня из квадрата этого множителя;

2)    применить свойство корня из произведения;

3)    записать корень из произведения.

Выполним задания.

Задание 1. Найдите значение выражения .

Решение.

Задание 2. Упростите выражения.

Решение. Чтобы упростить первое выражение, в первых двух слагаемых представим подкоренные выражения в виде произведения неотрицательных множителей, в третьем слагаемом внесём множитель под знак корня. Затем вынесем множители за знак корня в первых двух слагаемых. Потом применим распределительный закон умножения. Выполним вычисления в скобках и в результате получим .

Чтобы упростить второе выражение, воспользуемся формулами сокращённого умножения. Выражение в первых скобках возведём в квадрат, воспользовавшись формулой квадрата разности. Выражение во вторых скобках возведём в квадрат, воспользовавшись формулой квадрата суммы.  умножим на  с помощью формулы разности квадратов. Выполним преобразования и в результате получим 26.

Чтобы упростить третье выражение, представим число 27 в виде произведения 3 и 9. А затем вынесем 3 за знак корня. Потом раскроем скобки. Воспользуемся известным свойством квадратного корня. Выполним преобразования и в результате получим .

Задание 3. Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения.

Решение.

Задание 4. Разложите на множители.

Решение.

Задание 5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях дробей.

Решение. Знаменатель первой дроби равен разности выражений, одно из которых содержит корень. Тогда умножим числитель и знаменатель этой дроби на сумму этих выражений (то есть на сопряжённое выражение). Затем к выражению в знаменателе применим формулу разности квадратов. Разделим числитель и знаменатель дроби на 6 и в результате получим .

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе второй дроби, умножим её числитель и знаменатель на . Затем к выражению в знаменателе применим формулу разности квадратов. Разделим числитель и знаменатель дроби на 13 и в результате получим .

Вот таким образом мы избавились от иррациональности в знаменателях обеих дробей.

Задание 6. Найдите значения выражений.

Решение. Чтобы найти значение первого выражения, сначала воспользуемся формулой квадрата разности. Затем выполним возведение в квадрат. Ко второму слагаемому применим известное нам свойство квадратных корней (справа налево). Потом выполним вычисления. В результате получим 8.

Чтобы найти значение второго выражения, воспользуемся одним из свойств квадратных корней (справа налево). Умножим 2 на 32 и 3 на 27. Получим разность  и . Эта разность равна .

Найдём значение третьего выражения. Для этого возведём в квадрат сумму в первых скобках, используя формулу квадрата суммы. 120 запишем как произведение 4 и 30. Далее  возведём в квадрат. Ко второму слагаемому применим известное нам свойство квадратных корней (справа налево).  возведём в квадрат. Вынесем 2 за знак корня.  возведём в квадрат. Выполним преобразования и в результате получим 0.

Чтобы найти значение последнего выражения, избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби.

Первая дробь. Умножим её числитель и знаменатель на . Затем к выражению в знаменателе применим формулу разности квадратов. Разделим числитель и знаменатель дроби на 7 и получим .

Вторая дробь. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на . Потом к выражению в знаменателе применим формулу разности квадратов. Разделим числитель и знаменатель дроби на 5 и получим .

Сложим  и . В результате получим, что значение выражения равно 6.

На этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!