Преобразование дробных рациональных выражений

Друзья, перед вами выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Такие выражения называют целыми.

Теперь вы видите выражения, которые помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Если целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, потому что для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны, то дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение  не имеет смысла при . При всех остальных значениях переменной  это выражение имеет смысл.

Значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Отметим, что отдельным видом рационального выражения является рациональная дробь. Это дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены. Отметим, что рациональная дробь может быть как целым выражением, так и дробным.

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в .

Задание первое. Найдите допустимые значения переменной в дроби .

Решение.

Задание второе. Сократите дроби.

Решение. Первая дробь. Разложим числитель и знаменатель этой дроби на множители. Для этого к выражению в числителе дроби применим формулу квадрата разности, а к выражению в знаменателе – формулу разности квадратов. Сократим полученную дробь на общий множитель  и в результате получим  делённое на .

Сократим вторую дробь. Для этого в числителе вынесем за скобки множитель , а к выражению в знаменателе применим формулу разности кубов. Сократим полученную дробь на общий множитель  и в результате получим  делённое на .

Чтобы сократить последнюю дробь, сгруппируем в числителе первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым. К выражению в знаменателе применим формулу разности квадратов. В числителе в первой группе вынесем за скобки . Во второй группе вынесем , поменяв при этом местами слагаемые в скобках. Видим, что в числителе можно вынести за скобки общий множитель . Сделаем это. Затем сократим полученную дробь на .

Задание третье. Упростите выражения.

Решение. Чтобы упростить первое выражение, сложим рациональные дроби с одинаковыми знаменателями. Для этого нам надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Чтобы упростить второе выражение, найдём разность рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого нам надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Упростим третье выражение, которое представляет собой сумму двух рациональных дробей. Обратите внимание, что знаменатели этих дробей являются противоположными выражениями. Изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой дробью. Выполним вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого из числителя первой дроби вычтем числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Задание четвёртое. Выполните сложение или вычитание дробей.

Решение. Первое выражение представляет собой сумму рациональных дробей с разными знаменателями. Чтобы выполнить сложение, надо привести дроби к общему знаменателю.

Второе выражение представляет собой разность рациональных дробей с разными знаменателями. Чтобы выполнить вычитание, надо привести дроби к общему знаменателю.

Задание пятое. Упростите выражения.

Решение. Первое выражение представляет собой произведение двух рациональных дробей.

Чтобы упростить второе выражение, надо выполнить деление. Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Чтобы упростить третье выражение, в первую очередь выполним возведение в степень. Чтобы возвести рациональную дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и записать первый результат в числитель, а второй – в знаменатель. Затем, чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, мы первую дробь умножим на дробь, обратную второй.

Задание шестое. Представьте выражение  в виде рациональной дроби.

Решение.

Друзья, на этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!