Экстремумы функции

Сегодня на уроке мы выясним, какая точка называется точкой максимума функции, а также узнаем, какая точка называется точкой минимума функции. Сформулируем теорему Ферма. Приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что на нашем прошлом занятии мы исследовали на возрастание и убывание функцию .

Сейчас вы видите график этой функции.

Давайте рассмотрим окрестность точки , то есть некоторый интервал, содержащий эту точку. Из рисунка видно, что существует такая окрестность точки , что наибольшее значение данная функция в этой окрестности принимает в точке . Например, на интервале  функция принимает наибольшее значение, равное , в точке . Таким образом, точку  называют точкой максимума функции.

Рассмотрим окрестность точки . Из рисунка видно, что существует такая окрестность точки , что наименьшее значение данная функция в этой окрестности принимает в точке . Например, на интервале  функция принимает наименьшее значение, равное , в точке . Точку  называют точкой минимума функции.

Сформулируем определение.

Точка  называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство .

Так, например, точка  является точкой максимума функции , так как  и при всех значениях  верно неравенство .

Точка  называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство .

Например, точка  является точкой минимума функции , так как  и при всех значениях  верно неравенство .

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Теперь познакомимся с теоремой Ферма. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  и имеет производную в этой точке. Тогда сформулируем утверждение, которое и называют теоремой Ферма.

Если  – точка экстремума дифференцируемой функции , то .

Доказательство этой теоремы приводится в курсе высшей математики.

Геометрический смысл теоремы

Например, рассмотренная выше функция  имеет максимум в точке . .

Функция  имеет минимум в точке . , .

Таким образом, мы убедились, что значение производной в точке экстремума функции равно нулю.

Но отметим, что если , то этого недостаточно, чтобы утверждать, что  обязательно является точкой экстремума функции .

Так, например, производная функции  равна . Производная равна 0 в точке 0. Однако точка  не является точкой экстремума, так как данная функция возрастает на всей числовой оси.

Получается, что не всегда корень уравнения  является точкой экстремума. Но точки экстремума дифференцируемой функции нужно искать только среди корней уравнения .

Точки, в которых производная равна нулю, называют стационарными.

Из предыдущих занятий вам известно, что функция  не имеет производной в точке . При этом эта точка является точкой минимума данной функции.

Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции.

То есть точка  – критическая точка функции .

Таким образом, чтобы точка  была точкой экстремума функции , необходимо, чтобы эта точка была критической точкой данной функции.

Теперь приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума. Это будут условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой максимума или минимума.

Итак, пусть функция  дифференцируема на интервале ,  и . Тогда:

1) если при переходе через стационарную точку  функции  её производная меняет знак с «плюса» на «минус», то есть  слева от точки  и  справа от точки , то  – точка максимума функции ;

2) если при переходе через стационарную точку  функции  её производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то  – точка минимума функции .

Давайте найдём точки экстремума функции  и значения функции в этих точках.

А сейчас выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите стационарные точки функций:

а) ; б) .

Решение.

Задание второе. Найдите точки экстремума функций:

а) ; б) .

Решение.