Свойства параллельных плоскостей

Материал урока.

Для начала давайте вспомним определение параллельных плоскостей и признак параллельности двух плоскостей. Итак, две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Признак параллельности плоскостей:если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

А теперь рассмотрим свойства параллельных плоскостей.

Первое свойство.Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство. Пусть даны параллельные плоскости α и β. И пусть дана плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b соответственно. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

Рассмотрим прямые а и b. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости γ и не пересекаются. Если бы прямые а и bпересекались, то их общая точка принадлежала бы плоскостям α и β, чего быть не может, так как по условию они параллельны.

Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т.е. прямая а параллельна прямой b.Что и требовалось доказать.

Наглядным представлением данного свойства служат линии пересечения пола и потолка со стеной комнаты – эти линии параллельны.

Второе свойство.Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство.Пусть даны параллельные плоскости α и β. И пустьданы параллельные отрезкиAB и CD, которыележат на параллельных прямых а и b, расположенных между плоскостями α и β. Докажем, что отрезок ABравен отрезку CD.

Две параллельные прямые а и b образуют единственную плоскость γ. Плоскость γ, проходящая через параллельные прямые а и b, пересекает плоскости α и β по прямымAC и BD. По первому свойству, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, следует, что прямыеAC и BD – параллельны. А, значит, четырехугольник ABDC – параллелограмм, так как в нем противолежащие стороны попарно параллельны. По свойству противоположных сторон параллелограмма, следует, чтоотрезок AB равен отрезкуCD.Что и требовалось доказать.

Третье свойство.Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом единственная.

Доказательство. Пусть дана плоскость α и точка M, которая не лежит в данной плоскости. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые а и b. Через точку M проведем прямые а₁ и b₁, параллельные прямым а и b соответственно.

Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а₁ и b₁. Плоскость β – искомая, так как она проходит через точку M и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.

Докажем единственность плоскости β. Предположим, что существует другая плоскость β₁, которая проходящая через точку M и параллельна плоскости α.

Плоскость γ, проходящая через точку М и прямую а, пересекает плоскости β и β₁, так как с каждой из них плоскость гамма имеет общую точку М.

Следовательно, линии пересеченияl и l₁ плоскости гамма с плоскостями β и β₁, проходят через точку М и параллельны прямой а. Получили, что через точку М, не лежащую на прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а. А это противоречит теореме о том, что через точкуМ, не лежащей на прямой а, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Значит, наше предположение неверно и плоскость β единственная. Что и требовалось доказать.

Задача. Даны плоскости . Плоскость  пересекает эти плоскости по прямым  и  соответственно, причем , прямая . Прямая  и пересекает прямые  и  в точках  и  соответственно. Угол . Определите чему равен угол

Решение.

Ответ:.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели некоторые из свойств, которыми обладают две параллельные плоскости в пространстве. Узнали, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Доказали, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. А также доказали свойство о существовании единственнойплоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее.