Задачи на взвешивание и переливание

Часто в жизни встречаются ситуации, когда нам надо что-то отмерить, а нужной мерки нет.

Давайте рассмотрим, например, вот такую задачу. Бабушка собрала урожай слив. Как ей за 3 взвешивания отвесить 7 кг слив, если у неё есть только чашечные весы и одна гиря массой 1 кг?

Решение. Поставим на одну чашу весов килограммовую гирю. Вторую чашу весов наполним сливами так, чтобы чаши уровнялись. Так мы отмерили 1 кг слив.

Переставим гирю на чашу со сливами. Освободившуюся чашу наполним сливами так, чтобы весы пришли в равновесие. Так как на второй чаше 1 кг слив и килограммовая гиря, то их общая масса составляет 2 кг. А так как весы находятся в равновесии, то на первой чаше – 2 кг слив.

Переложим эти 2 кг слив на чашу с килограммовой гирей и 1 кг слив. Их общая масса составляет 4 кг.

Освободившуюся чашу весов наполняем сливами до тех пор, пока весы не придут в равновесие.

Получается, что на одной чаше весов 4 кг слив, а на второй – 3 кг слив и килограммовая гиря. Значит, всего на весах 7 кг слив.

Таким образом, всего за 3 взвешивания удалось отвесить 7 кг слив с помощью только килограммовой гири.

Вообще, в задачах на взвешивание довольно часто взвешивают монеты.

Решим следующую задачу. Из 3 монет 2 настоящие и одна фальшивая – она легче остальных. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

Решение. На чаши весов положим по одной монете, а третью монету отложим в сторону. При взвешивании может получиться два результата.

Первый результат: масса монет на весах одинаковая. А значит, третья монета, которую отложили в сторону, легче этих двух, которые лежат на весах. Следовательно, третья монета – фальшивая.

Второй результат: одна монета на весах тяжелее. Получается, что та монета, которая легче, является фальшивой. Ведь в условии задачи сказано, что фальшивая монета легче остальных.

Вот таким образом за одно взвешивание можно определить, какая из 3 монет является фальшивой.

Теперь решим такую задачу. Из 9 монет одна фальшивая – она легче остальных. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

Решение. Итак, давайте разделим все монеты на 3 группы по 3 штуки.

Сначала кладём по 3 монеты на чаши весов.  Если весы в равновесии, то на них все монеты одинаковые, то есть фальшивой монеты среди них нет.

Откладываем все взвешенные монеты в сторону и кладём на чаши весов две монеты из третьей группы. Если весы в равновесии, то фальшивая монета, которая легче всех остальных, лежит в стороне.

Если же весы не в равновесии, то та монета, которая легче, и является фальшивой.

Вот так всего за 2 взвешивания удалось определить, какая из 9 монет – фальшивая.

Если же при первом взвешивании весы не были в равновесии, то для второго взвешивания берём монеты с той чаши, которая поднялась выше.

И решим ещё одну задачу на взвешивание. На одной чаше весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чаше – 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?

Решение. Итак, на одной чаше которых лежат 6 яблок и 3 груши. На второй чаше весов лежат – 3 яблока и 5 груш.

Чтобы ответить на вопрос данной задачи, поступим так: снимем с каждой чаши весов по 3 яблока и по 3 груши.

На одной чаше весов осталось 3 яблока, а на другой – 2 груши. При этом обратите внимание, что весы остались в равновесии, так как с каждой чаши мы убрали фрукты одинаковой массы.

Итак, раз весы сейчас находятся в равновесии, то значит, масса 3 яблок равна массе 2 груш. Тогда получается, что яблоко легче груши.

Сейчас мы рассмотрели задачи на взвешивание. Также довольно часто встречаются задачи, в которых надо отмерять жидкость. Это – логические задачи на переливание.

Давайте решим такую задачу. Имеются 2 ведра вместимостью 3 л и 5 л. Как с помощью этих вёдер набрать из бочки 4 л воды?

Решение. Наливаем полное пятилитровое ведро. Переливаем из него воду в трёхлитровое ведро, пока то не наполнится. А значит, в пятилитровом ведре останется 2 л воды.

5 – 3 = 2 (л)

Теперь воду из трёхлитрового ведра выливаем обратно в бочку. А 2 л из пятилитрового ведра выливаем в трёхлитровое ведро.

Снова наполняем большое ведро и отливаем из него часть воды в малое ведро.

В трёхлитровом ведре уже есть 2 л воды, а значит, в него может войти только 1 л.

Следовательно, после этого в пятилитровом ведре останется 4 л воды.

5 – 1 = 4 (л)

Вот так с помощью трёхлитрового и пятилитрового вёдер можно набрать из бочки 4 л воды.

Решим ещё одну задачу на переливание. Имеются 2 ведра вместимостью 5 л и 8 л. Как с помощью этих вёдер набрать из бочки 7 л воды?

Решение. Наливаем полное пятилитровое ведро. Потом переливаем из него всю воду в восьмилитровое ведро.

Затем снова наполняем пятилитровое ведро водой и переливаем из него воду в восьмилитровое ведро, пока то не заполнится.

В большом ведре уже есть 5 л воды, следовательно, в него может войти только 3 л. А значит, после этого в пятилитровом ведре останется 2 л.

5 – 3 = 2 (л)

Далее выливаем воду из восьмилитрового ведра обратно в бочку. И выливаем в него 2 л воды из пятилитрового ведра.

Теперь снова наполняем пятилитровое ведро. И переливаем эту воду в восьмилитровое ведро.

В большом ведре уже было 2 л воды. Получается, что теперь в нём 7 л воды.

2 + 5 = 7 (л)

Таким образом, мы набрали из бочки 7 л воды с помощью вёдер вместимостью 5 л и 8 л.