Понятие логарифма

Вопросы занятия:

·     ввести понятие логарифма;

·     познакомить с основным логарифмическим тождеством;

·     рассмотреть некоторые свойства логарифмов.

Материал урока

Давайте рассмотрим простое показательное уравнение и решим его графически.

Легко заметить, что эти графики пересекаются в точке с координатами два, четыре, значит, x = 2 – это единственный корень уравнения.

Рассуждая аналогично, легко записать, что корнем уравнения 2^x = 8 будет x = 3.

Теперь давайте попробуем решить уравнение 2^x = 6.

По графику видно, что данное уравнение имеет решение, причём единственное. Но точное значение по графику мы определить не можем, единственное что мы можем сказать, это то что корень этого уравнения лежит в промежутке (2; 3).

Для корней такого уравнения был введён специальный символ:

Тогда корнем уравнения 2^x = 6 будет

Теперь для любого уравнения вида:

можно записать решение:

Очевидно, что с помощью нового символа можно записать корень любого уравнения вида:

Этот корень равен:

Запишем чёткое определение.

Определение.

Логарифмом положительного числа b по положительному, не равному единице основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Обратите внимание, что положительным должно быть только основание логарифма. Само значение логарифма может быть и отрицательным, потому что значение логарифма – это степень, а возводить в отрицательную степень мы умеем.

Например

Из определения логарифма легко вывести следующие формулы:

А теперь давайте вернёмся к первому примеру и постараемся определить, что это за число:

Можно предположить, что это будет иррациональное число. Докажем или опровергнем это предположение.

Допустим, что это рациональное число. Тогда:

Правая часть равенства делится на 3, а левая часть на 3 не делится. Получили, что такое равенство невозможно. То есть невозможно подобрать такую рациональную степень, чтобы при возведении в неё двойки получилось шесть. Таким образом, пришли к противоречию, то есть доказали, что это иррациональное число.

Давайте ещё раз посмотрим на определение логарифма.

Поскольку логарифм – это такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b, то можно записать:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Например:

Запишем важное правило:

Операцию нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием:

Рассмотрим несколько примеров.

 Пример.

Пример.

Пример.