Геометрический смысл производной

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что функция вида , где  и  – любые действительные числа, называется линейной. Графиком этой функции является прямая. Число  называют угловым коэффициентом прямой, а угол  – угол, который эта прямая образует с осью .

При этом если , то угол . В этом случае функция возрастает.

Если , то угол . В этом случае функция убывает.

Выясним геометрический смысл производной. Итак, на рисунке изображён график дифференцируемой функции . Пусть точки А и М принадлежат графику этой функции. Пусть x – абсцисса точки А, x + h – абсцисса точки М. Тогда  ордината точки А, а f (x + h) ордината точки М. Запишем координаты этих точек.

Теперь построим треугольник . Он прямоугольный.

Точка C имеет координаты . Из этого треугольника найдём угловой коэффициент  прямой . Этот коэффициент зависит от , то есть его можно рассматривать как функцию . Он равен .

 .

Тогда .

Пусть число  фиксировано, а . Тогда, посмотрев на рисунок и на координаты точек А и М, становится понятно, что точка А будет неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, будет стремится к точке А, то есть будет всё ближе и ближе к ней. При этом прямая АМ будет стремиться занять положение прямой, которую называют касательной к графику функции , так как существует .

Итак, , то есть тангенсу угла между касательной и осью Оx.

Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции  в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке .

Давайте найдём угол между касательной к графику функции  в точке  и . Для этого найдём угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке . То есть найдём значение производной данной функции при .

Давайте найдём угол между касательной к параболе  в точке  и напишем уравнение этой касательной.

Теперь аналогичным образом выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции  в точке .

Давайте найдём уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Здесь угол между касательной к графику функции и осью абсцисс, то есть .

Сейчас давайте с вами покажем, что касательная к параболе  в точке с абсциссой  пересекает ось  в точке .

Таким образом, мы показали, что касательная к параболе  в точке с абсциссой  пересекает ось  в точке .

Таким образом, можно сформулировать геометрический способ построения касательной к параболе  в точке  с абсциссой : прямая, проходящая через точку  и точку  оси абсцисс, касается параболы в точке .

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

а) , ; б) , .

Решение.

Задание второе. Найдите угол между касательной к графику функции  в точке с абсциссой  и осью :

а) , ; б) , .

Решение.

Задание третье. Напишите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

а) , ; б) , .

Решение.