Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс

На прошлом уроке мы с вами показали, что если в системе происходят свободные колебания, то её полная механическая энергия остаётся постоянной и равной той энергии, которую ей сообщили изначально. Поэтому свободные колебания происходят с постоянной амплитудой и со строго определённой частотой, называемой частотой свободных (собственных) колебаний системы. Эта частота зависит только от параметров системы. Значит маятник, выведенный из положения равновесия, должен бы колебаться бесконечно долго. Иногда мы действительно можем наблюдать колебания, которые длятся достаточно долго. Например, если очень длинный маятник отклонить на малый угол, то его колебания смогут продолжаться в течение многих часов. Однако, как бы долго ни продолжались свободные колебания, маятник в конце концов все-таки остановится. И «виноваты» в этом, конечно же, силы сопротивления, которые в реальных земных условиях действует на всё, что движется.

Причём чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания. Например, в жидкости колебания прекратятся намного быстрее, чем в воздухе. А если, например, пружинный маятник, жёсткость которого достаточно мала, опустить в стакан с маслом и вывести маятник из положения равновесия, то он совсем не будет колебаться. Под действием силы упругости он просто вернётся в положение равновесия.

Колебания с уменьшающейся амплитудой называются затухающими колебаниями.

Получим график зависимости координаты тела от времени при затухающих колебаниях. Для этого возьмём вертикальный пружинный маятник к грузу которого прикреплён грифель от карандаша. Сзади маятника расположим длинный лист бумаги. Заставив маятник колебаться, будем равномерно перемещать лист бумаги, на котором маятник будет вычерчивать график зависимости своей координаты от времени. Это достаточно простой метод получения временной развёртки колебаний, дающий, тем не менее, достаточно полное представление о процессе колебательного движения.

Так как свободные колебания всегда затухают за то или иное время, то они не находят практического применения. Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, чтобы воздействовать на колебательную систему внешней периодической силой, возбуждающей колебания, которые сама система не совершала бы.

Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, мы будем называть вынужденными колебаниями.

​ Основное отличие вынужденных колебаний от свободных состоит в том, что при свободных колебаниях система получает энергию только один раз, когда она выводится из положения равновесия, а при вынужденных колебаниях энергия постоянно пополняется за счёт работы вынуждающей силы.

Рассмотрим особенности вынужденных колебаний на таком опыте. Подвесим пружинный маятник к стержню с изгибом, который можно вращать с помощью рукоятки. Отверстие, через которое проходит подвес маятника, даёт ему возможность двигаться только вверх или вниз.

При вращении рукоятки с постоянной частотой на маятник будет с такой же частотой действовать сила со стороны стержня. У пружинного маятника есть собственная частота колебаний. Пусть частота вращения стержня не равна этой частоте. Тогда под действием периодически изменяющейся силы амплитуда колебаний груза сначала будет неравномерно увеличиваться, так как происходит наложение свободных затухающих колебаний и вынужденных колебаний. При этом работа вынуждающей силы обеспечивает приток энергии к системе извне, который не даёт колебаниям затухать, несмотря на действие сил сопротивления.

А после того, как свободные колебания прекратятся, останутся только вынужденные колебания. При установившихся колебаниях работа внешней силы равна потерям энергии в колебательной системе, а значение установившейся амплитуды определяется: потерями энергии, амплитудой действующей силы, а также частотой или периодом внешней силы.

Если изменять частоту вращения стержня и, соответственно, частоту вынуждающей силы, то можно зарегистрировать характерную зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты, которая называется резонансной кривой. При частоте вынуждающей силы, приближающейся к собственной частоте колебаний маятника, амплитуда колебаний растёт. Она достигает максимума, когда внешняя сила действует в такт со свободными колебаниями шарика.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы близка к частоте собственных колебаний системы, называется механическим резонансом.

При этом дальнейшее увеличении частоты вынуждающей силы приводит к уменьшению амплитуды колебаний маятника. А при очень больших частотах внешней силы тело начинает дрожать на месте, так как вследствие своей инертности оно не будет успевать заметно смещаться.

Явление резонанса можно продемонстрировать и на таком опыте. Подвесим на горизонтальный стержень несколько маятников разной длины. При этом, пусть центральный маятник будет намного массивнее остальных.

Приведём его в движение в плоскости, перпендикулярной стержню. Он будет совершать свободные колебания, периодически действуя с некоторой силой на стержень, который будет передавать это воздействие остальным маятникам, и они тоже придут в движение. Но посмотрите, колебания маятников два и три практически незаметны, так как их собственные частоты значительно отличаются от частоты массивного маятника. Амплитуды маятников четыре и пять гораздо заметнее. А вот два последних маятника, длина нити которых такая же, как и у массивного маятника, колеблются с очень большой амплитудой. То есть они вошли в резонанс с массивным маятником.

Так почему же растёт амплитуда колебаний, когда частота вынуждающей силы приближается к частоте собственной колебательной системы? Дело в том, что совпадение частот означает, что равнодействующая силы тяжести и силы упругости нити в самой системе действует «в такт» с вынуждающей силой. И если равнодействующая и вынуждающая силы в какие-то моменты действуют в одном направлении, то они складываются и их действие усиливается. И даже если вынуждающая сила мала́, она всё равно приведёт к росту амплитуды, так как она добавляется к равнодействующей силе каждый период.

С явлением резонанса мы встречаемся довольно часто и в быту, и в технике. Так, например, чтобы выехать из ямки, водитель с определённой частотой включает и выключает сцепление, раскачивая автомобиль. Увеличение амплитуды колебаний автомобиля содействует его выезду из выбоины. Также явление резонанса используют при работе виброустройств, предназначенных для уплотнения сыпучего основания под фундаменты и дороги, уплотнения бетона при заливке фундаментов и так далее.

Однако часто механический резонанс вреден для колебательных систем и может даже вызывать их разрушение. Так произошло в 1750 году во французском городе Анже, когда через мост длиной 102 м, висящий на цепях, проходил отряд солдат.

Подобный случай произошёл и в Петербурге в 1906 г. При переходе по Египетскому мосту через Фонтанку кавалерийского эскадрона частота чёткого шага лошадей совпала с частотой колебаний моста.

Поэтому, например, для предотвращения резонанса поезда переезжают мосты на медленном или на очень быстром ходу, чтобы частота ударов колёс о стыки рельсов была значительно меньше или значительно больше частоты собственных колебаний моста.