Геометрический конструктор

Сегодня наше занятие будет посвящено широко известным во всём мире головоломкам-конструкторам, для решения которых нужны не только математические знания, но и хорошее воображение.

Начнём с «Пентамино».

Вообще, пентамино – это пятиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами. «Пента» в переводе с греческого языка означает «пять».

Отметим, что кроме пятиклеточных полимино, есть фигуры домино, тримино, тетрамино. Эти фигуры составляют, соответственно, из двух, трёх, четырёх одинаковых квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом.

Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино.

Фигуры тримино можно получить из фигуры домино, приставляя к ней различными способами ещё один квадрат. Обратите внимание, что получается только 2 различные фигуры.

Фигуры тетрамино можно получить из фигур тримино, приставляя к ним различными способами ещё один квадрат. В этом случае получается 5 различных фигур.

А вот фигуры пентамино получаются из фигур тетрамино, к которым приставили ещё один квадрат различными способами. Таких фигур 12.

Словом «пентамино» называют не только фигуры, но и головоломку-конструктор, которая была придумана в 50-х годах двадцатого века Соломоном Голомбом – американским математиком, инженером и профессором электротехники. Эта игра-конструктор быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики.

Набор пентамино состоит из 12 фигурок. Каждая фигурка составлена из 5 одинаковых квадратов, которые «соседствуют» друг с другом только сторонами. Все элементы обозначаются латинскими буквами, форму которых они напоминают.

Отметим, что при решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать. Поэтому, если вы решили изготовить игру своими руками, элементы надо делать двухсторонними (то есть закрашивать с двух сторон).

Сейчас вы видите фигуры. Все они сложены из элементов пентамино.

Но всё же чаще всего из всех 12 фигурок пентамино люди складывают прямоугольник. При этом стараются сделать это так, чтобы внутри него все фигурки плотно примыкали одна к другой, нигде не накладывались друг на друга, и чтобы нигде не осталось ни одного пустого промежутка.

Так как каждая из 12 фигур состоит из 5 квадратов, то прямоугольник должен состоять из 60 квадратов. Это значит, что возможны прямоугольники размером 3 на 20, 4 на 15, 5 на 12 и 6 на 10.

А вот прямоугольники размером 2 на 30 и 1 на 60 составить из пятиклеточных полимино не получится, так как большинство фигур просто не поместятся в них по ширине.

В прямоугольник размером 3 на 20 все 12 фигур пентамино можно уложить 2 способами. А вот уже в прямоугольник размеров 4 на 15 уложить фигуры пентамино можно 368 способами. Для прямоугольника размером 5 на 12 существует 1010 способов. Для прямоугольника размером 6 на 10 есть 2339 различных решений.

В пентамино можно играть вдвоём. Например, двое игроков по очереди выбирают 1 из 12 фигур и располагают её на свободных клетках квадратного поля размером 8 на 8. Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на поле ни одной фигуры. Если всё же фигурки удалось разместить на доске, то выигрывает человек, который ходил последним.

Но обратите внимание, что полностью покрыть поле размером 8 на 8 клеток элементами данного конструктора не получится, ведь оно состоит из 64 клеток. Это значит, что останется 4 свободные клетки. А вот если вырезать из середины этого поля квадрат из 4 клеток, то оставшиеся 60 клеток можно покрыть всеми 12 фигурками пентамино.

Перед вами 2 варианта покрытия квадрата размером 8 на 8 клеток с вырезанной серединой. Один из них был предложен создателем пентамино Соломоном Голомбом.

Сейчас представьте, что перед вами 12 фигур пентамино, которые уложены в коробку размером 12 на 10 так, как показано на рисунке. Попробуем разместить ещё один комплект пентамино на оставшемся свободном поле.

Давайте начнём укладывать фигуры. Итак, в левом верхнем углу разместим фигуру в форме буквы L. Рядом разместим фигуру, напоминающую букву F. Затем разместим фигуру в форме T. Потом уложим фигуру в форме буквы X. Рядом разместим перевёрнутые фигуры в виде букв P и W. В нижнем левом углу разместим букву V. Рядом с ней букву U. Потом уложим фигуру в форме буквы I. Затем на оставшемся свободном поле разместим фигуры, которые имеют форму букв N, Y и Z. Вот таким образом мы заполнили свободное поле ещё одним комплектом пентамино.

Теперь познакомимся с ещё одной головоломкой-конструктором, которую называют «Танграм». Давайте выясним, что это за головоломка такая. Для этого возьмём квадрат размером 6 на 6 клеток и разрежем его на части.

Получилось 2 больших треугольника, 2 маленьких и один средний. Также получилось 2 четырёхугольника (параллелограмм и квадрат). Всего 7 элементов. Каждый из 7 элементов головоломки называют таном.

Головоломка была создана в Китае в 18 веке. Она называлась «чи чао ту», что означает «умственная головоломка из 7 частей». Подтверждением этому служит известная книга «Собрание фигур из 7 частей». Название «танграм» возникло в Европе в конце 19 века.

Суть головоломки заключается в конструировании на плоскости из 7 элементов различных более сложных фигур. Фигуры обычно задаются в виде силуэта или внешнего контура. При этом в каждую собираемую фигуру должны войти все 7 элементов танграма. При составлении фигуры элементы не должны накладываться друг на друга.

Сейчас познакомимся с ещё одной известной игрой, которая называется стомахион. Она напоминает танграм. Только в данном случае на части разрезается не квадрат, а прямоугольник, у которого длина в 2 раза больше ширины. И разрезается этот прямоугольник не на 7 частей, а на 14.

С первого взгляда может показаться, что прямоугольник разбит на части случайным образом, но это не так. Здесь есть 1 пятиугольник, 2 четырёхугольника и 11 треугольников.

В 1899 году швейцарский историк Генрих Зутер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись «Книга Архимеда о разбиении стомахиона на 14 частей, находящихся в рациональных отношениях». Позже датский математик Гейберг подтвердит, что создателем игры является именно Архимед – древнегреческий учёный и инженер, который жил 3 веке до нашей эры.

Из элементов данной игры-конструктора можно составлять различные фигуры, силуэты животных, людей и многое другое.

Головоломка стомахион требует большого терпения. Недаром слово «стомахион» переводится как «приводящая в ярость».

И ещё одна игра-конструктор – «Колумбово яйцо». Для изготовления этой головоломки за основу берут овал, который разрезают 10 частей.

В результате получаются 2 больших треугольника, 2 маленьких треугольника, 4 фигуры, которые похожи на треугольник с одной закруглённой стороной, и ещё 2 фигуры, которые похожи на четырёхугольник (трапецию) с одной закруглённой стороной.

Из элементов этой головоломки можно составлять фигурки разных предметов, зверей, птиц, рыб.

При этом обратите внимание, что элементы игры должны соединяться таким образом, чтобы они не перекрывали друг друга. В составленной фигуре должны использоваться все 10 элементов головоломки.

На этом занятие, посвящённое геометрическим конструкторам, подошло к концу. Хочется отметить, что каждая из этих головоломок может стать вашей настольной игрой, что позволит проводить вам свободное время интересно и с пользой.