Благоприятствующие элементарные события

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, что элементарными событиями (или элементарными исходами) называются события случайного эксперимента, которые нельзя разделить на более простые.

В результате случайного эксперимента обязательно наступает только одно элементарное событие.

Однако в случайных экспериментах могут возникать более сложные случайные события. Например, при бросании игрального кубика возможно событие «выпадет число очков, кратное 3» или событие «выпадет меньше 4 очков». Случайные события принято обозначать большими латинскими буквами.

Случайным событием в случайном эксперименте называется произвольное множество, состоящее из элементарных событий этого эксперимента.

Например, событие  «выпадет нечётное число очков» при бросании игрального кубика состоит из трёх элементарных событий: «выпадет 1 очко», «выпадет 3 очка», «выпадет 5 очков». Событие  можно записать как множество с перечислением его элементов.

Элементарные события обозначить маленькими латинскими буквами.

Элементарное событие «выпадет 1 очко» принадлежит событию «выпадет нечётное число очков», элементарное событие «выпадет 3 очка» принадлежит событию «выпадет нечётное число очков» и элементарное событие «выпадет 5 очков» тоже принадлежит событию «выпадет нечётное число очков».

, , .

Но всё же чаще говорят, что элементарное событие не принадлежит, а благоприятствует некоторому событию.

Слова «принадлежать» и «благоприятствовать» будем использовать как синонимы.

Элементарные события, при которых наступает событие , называются благоприятствующими событию .

В случайном эксперименте наступает только одно из элементарных событий. Если элементарное событие благоприятствует двум различным событиям  и , то события  и  могут произойти одновременно.

Пример. Катя, Лена и Маша решили купить мороженое и встали в очередь.

Сколькими способами девочки могут расположиться друг за другом?

Получается, что девочки могут расположиться друг за другом 6 способами, то есть в рассматриваемом случайном эксперименте 6 элементарных событий.

Рассмотрим событие  «Лена стоит в очереди первой». Это событие наступает, если случилось одно из двух элементарных событий. Лена стоит первой, после неё стоит Катя, а после Кати – Маша. Лена стоит первой, после неё стоит Маша, а после Маши – Катя.

Можно сказать, что эти элементарные события благоприятствуют событию  «Лена стоит в очереди первой».

Рассмотрим событие  «Катя стоит в очереди последней». Это событие наступает, если случилось одно из двух элементарных событий. Первой в очереди стоит Лена, после неё стоит Маша, а после Маши – Катя. Первой в очереди стоит Маша, после неё стоит Лена, а после Лены – Катя.

Пример. Игральный кубик бросают 2 раза. Рассмотрим событие  «сумма выпавших очков равна 5». Этому событию благоприятствуют ровно 4 элементарных события.

Изобразим таблицу размером 6 на 6 клеточек. Номер строки показывает, сколько очков выпало при первом броске, а номер столбца – сколько очков выпало при втором броске.

Закрасим зелёным цветом клеточки, соответствующие элементарным событиям, которые благоприятствуют событию .

Так как событие представляет собой множество, то вместо словесного описания событие  можно записать перечислением благоприятствующих элементарных событий в фигурных скобках.

Рассмотрим событие  «сумма выпавших очков равна 11». Этому событию благоприятствуют ровно два элементарных события.

Закрасим синим цветом клеточки, соответствующие этим событиям.

Запишем событие  перечислением благоприятствующих элементарных событий в фигурных скобках.

Пример. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её.

Посмотрите на элементарные события в этом эксперименте.

Буква Н означает промах (неудачу), а буква У – попадание (успех).

Обратите внимание, что во всех элементарных событиях последней является буква У, потому что стрельба оканчивается успешным выстрелом.

В этом эксперименте можно рассматривать элементарное событие, состоящее из бесконечного числа промахов. Но это событие мы не будем брать в расчёт.

Пользуясь этими обозначениями, можно записать разные события в этом эксперименте. Например, событию  «стрелку потребуется не больше 5 выстрелов, чтобы сбить мишень» благоприятствуют 5 элементарных событий.

Событию  «стрелку потребуется не меньше 5 выстрелов» благоприятствуют бесконечно много элементарных событий.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Игральный кубик бросают 1 раз. Запишите событие  перечислением элементарных событий в фигурных скобках, если событие  состоит в том, что:

а) выпадет чётное число очков;

б) выпадет больше 3 очков;

в) выпадет не меньше 5 очков.

Решение.

Задание второе. Симметричную монету бросают 2 раза. Запишите перечислением в фигурных скобках событие  «в первый раз выпадет решка» и событие  «орёл выпадет хотя бы 1 раз».

Решение.

До встречи на следующих занятиях!