Действия с одночленами и многочленами

Друзья, перед вами несколько выражений, каждое из которых представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называют одночленами. Также одночленами считают числа, переменные и их степени.

Посмотрев одночлен , конечно же, возникает желание его упростить.

Обратите внимание, что полученный после упрощения одночлен содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте. Все остальные множители – это степени различных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным видом.

Важно отметить, что к стандартному виду можно привести любой одночлен.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Вообще, любой одночлен стандартного вида имеет коэффициент. И даже, например, у одночленов  и , при записи которых числовой множитель не используют, коэффициентами являются числа  и  соответственно, ведь  и .

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, считают равной нулю.

Например, степень одночлена  равна , так как сумма показателей степеней всех переменных равна семи. А вот степени одночленов  и  равны соответственно  и .

Число  является одночленом, степень которого не определена.

Сейчас перед вами два одночлена стандартного вида, у которых одинаковые буквенные части.

Друзья, такие одночлены называют подобными. К подобным одночленам также относят числа. Например,  и  – подобные одночлены.

Обратите внимание, что, например, у одночленов  и  буквенные части неодинаковы, хотя и состоят из одних и тех же переменных. А значит, они не являются подобными.

Теперь давайте найдём произведение двух одночленов. Для этого перемножим их числовые множители и степени с одинаковыми основаниями.

Умножив одночлен на одночлен, мы получили одночлен.

Давайте возведём одночлен в степень. Для этого воспользуемся правилами возведения в степень произведения и степени.

При возведении одночлена в степень также получили одночлен.

Итак, при умножении одночленов и возведении одночлена в степень используются правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который, как правило, представляют в стандартном виде.

Если произведение одночленов является одночленом, то вот с суммой одночленов дело обстоит иначе. Например, выражение  не является одночленом. Оно представляет сумму одночленов ,  и .

Выражение, которое является суммой нескольких одночленов, называют многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом. Многочлен, состоящий из трёх членов, трёхчленом.

Отметим, что одночлен договорились рассматривать как частный случай многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

Сейчас посмотрите на многочлен . Члены  и , а также  и  являются подобными слагаемыми, так как они имеют одинаковые буквенные части. Подобными слагаемыми являются и члены  и , которые не имеют буквенной части.

Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных членов многочлена.

Приведём подобные слагаемые в данном многочлене и получим многочлен , каждый член которого является одночленом стандартного вида. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные слагаемые.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

Давайте определим степень многочлена . Итак, он составлен из одночленов, степени которых соответственно равны , , ,  и . Наибольшая из этих степеней равна , а значит, степень данного многочлена равна .

Число  называют нулевым многочленом. Считают, что степень нулевого многочлена не определена.

Ну, а теперь приступим к выполнению заданий.

Задание первое. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его коэффициент и степень.

Решение. Чтобы привести к стандартному виду первый одночлен, надо перемножить числовые множители и степени с одинаковыми основаниями.

Коэффициент равен 1. Степень этого одночлена равна сумме степеней входящих в него переменных, то есть равна 6.

Чтобы привести к стандартному виду второй одночлен, надо перемножить числовые множители и степени с одинаковыми основаниями.

Коэффициент которого равен 5. Степень этого одночлена равна сумме степеней входящих в него переменных, то есть равна 20.

Задание второе. Упростите выражение .

Решение.

Задание третье. Найдите значение выражения , если , .

Решение. Прежде чем найти значение выражения, давайте упростим его.

Теперь подставим данные значения переменных и выполним вычисление.

Задание четвёртое. Решите уравнение  

Решение.

Задание пятое. Преобразуйте произведение  в многочлен.

Решение. Нам дано произведение одночлена и многочлена.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Задание шестое. Докажите тождество .

Решение. Чтобы доказать, что это равенство является тождеством, возьмём его левую часть и преобразуем.

В результате получили выражение, которое записано в правой части данного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Задание седьмое. Решите уравнение .

Решение. Чтобы раскрыть скобки в обеих частях этого уравнения, вспомним правило умножения многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Задание восьмое. Докажите, что при любом значении переменной  значение выражения  равно 16.

Решение.

Давайте попробуем упростить это выражение.

В результате получили 16. Это значит, что при любом значении переменной  значение данного выражения равно 16.

Друзья, на этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!