Преобразование выражений с помощью формул сокращённого умножения

Друзья, перед вами формулы сокращённого умножения, с помощью которых выполнять преобразования различных выражений намного проще. Эти формулы широко используются для представления целого выражения в виде многочлена и разложения многочлена на множители.

Формулы квадрата суммы и квадрата разности применяются не только для возведения в квадрат суммы и разности двух выражений, но и для разложения на множители выражений вида  и .

Формулу разности квадратов применяют для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений. Также это тождество позволяет выполнять умножение разности двух выражений на их сумму.

Формула суммы кубов используется для разложения на множители суммы кубов двух выражений. Обратите внимание на второй множитель в правой части формулы. Он напоминает трёхчлен, который равен квадрату разности  и . Однако вместо удвоенного произведения  и  в нём стоит просто их произведение. Трёхчлен  называют неполным квадратом разности  и .

Формула разности кубов используется для разложения на множители разности кубов двух выражений. Второй множитель в правой части этой формулы напоминает трёхчлен, который равен квадрату суммы  и . Вот только вместо удвоенного произведения  и  в нём стоит просто их произведение. Трёхчлен  называют неполным квадратом суммы  и .

Формула куба суммы и формула куба разности применяются не только для возведения в куб суммы и разности двух выражений, но и для разложения на множители.

Давайте приступим к выполнению заданий.

Задание первое. Разложите на множители многочлены.

Решение.

Разложим на множители первый многочлен. Сначала вынесем за скобки множитель . Третье слагаемое в скобках представляет собой квадрат выражения . Второе слагаемое равно удвоенному произведению  и . Это значит, что к трёхчлену в скобках можно применить формулу квадрата суммы.

Второй многочлен. Сгруппируем первый член многочлена со вторым, а третий с четвёртым. К выражению в первой группе применим формулу разности квадратов. Во второй группе вынесем за скобки . В получившейся сумме каждое слагаемое содержит множитель . Вынесем его за скобки и получим произведение двух выражений.

Третий многочлен. Применим к первым трём слагаемым формулу квадрата суммы. Затем, применив к получившемуся выражению формулу разности квадратов, разложим данный многочлен на множители.

Чтобы разложить на множители четвёртый многочлен, запишем  как .  запишем как . К получившемуся выражению применим формулу разности квадратов. Затем применим эту формулу к выражению в первых скобках.

Разложим на множители следующий многочлен. Его первое слагаемое представляет собой куб выражения , а второе – куб выражения . Видим, что теперь можем применить формулу суммы кубов двух выражений.

Разложим на множители последний многочлен. Внимательно посмотрим на него и заметим, что его первое слагаемое представляет собой куб выражения , а последнее – куб числа . Так как второе слагаемое равно утроенному произведению  и , а третье – утроенному произведению  и , то данный многочлен можно представить в виде куба суммы  и .

Задание второе. Преобразуйте выражения в многочлен.

Решение. Первое выражение. Возведём  во вторую степень, воспользовавшись формулой квадрата разности. Умножим  на . Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в них на . Приведём подобные слагаемые.

Второе выражение. К произведению разности  и  и суммы  и  применим формулу разности квадратов. Умножим  на . Перед скобками стоит знак «минус», а значит, раскроем их, изменив знаки слагаемых на противоположные. Приведём подобные слагаемые.

Третье выражение. Умножим  на , применив формулу разности квадратов.  возведём во вторую степень, применив формулу квадрата разности. Затем к произведению выражений  и  применим формулу разности квадратов. Перед скобками стоит знак «минус», а значит, раскроем их, изменив знаки слагаемых на противоположные. Приведём подобные слагаемые.

Задание третье. Решите уравнения.

Решение. Первое уравнение. Применим к его левой части формулу разности квадратов. Мы знаем, что произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. А значит, корнями данного уравнения являются  и .

Второе уравнение. Применив формулу квадрата разности, раскроем скобки в левой части уравнения. Скобки в правой части уравнения раскроем с помощью формулы квадрата суммы. Перенесём  в правую часть уравнения, а  и  – в его левую часть. При этом не забудем изменить знаки слагаемых на противоположные… Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения и выполним вычисления в правой. Найдём игрек, разделив  на .

Задание четвёртое. Вычислите.

Решение. Найдём значение каждого из этих выражений наиболее удобным способом.

Первое выражение. Преобразуем его с помощью формулы разности квадратов. Выполним вычитание в первых скобках и сложение во вторых. Затем умножим  на  и в результате получим .

Чтобы найти значение следующего выражения, представим  в виде суммы  и , а  – в виде разности этих чисел. К получившемуся выражению применим формулу разности квадратов. Возведём в квадрат  и . Выполним вычитание и в результате получим .

Найдём значение третьего выражения. Обратите внимание, что к выражению в числителе можно применить формулу квадрата суммы, а к выражению в знаменателе – формулу разности квадратов. Сделаем это. В числителе сумма в скобках равна . В знаменателе разность в первых скобках равна , а сумма во вторых скобках равна .  – это . Произведение  и  равно . Частное  и  равно .

Задание пятое. Докажите, что значение выражения  делится нацело на .

Решение. Применим к этому выражению формулу разности кубов. Затем найдём разность в первых скобках.

Мы представили данное выражение в виде произведения, один из множителей которого равен , а другой, очевидно, является натуральным числом. Следовательно, значение данного выражения делится нацело на .

Друзья, на этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!