Успех и неудача. Испытания до первого успеха

Представьте, что вы пытаетесь пройти сложный уровень в видеоигре. Для вас это испытание может закончиться успехом (вы пройдёте уровень), а может – неудачей.

В жизни мы часто встречаемся с подобными опытами. Одно из двух элементарных событий в таких опытах называют успехом, а другое – неудачей. Следует отметить, что эти названия условны, их можно поменять местами. Так, например, для футболиста победа – это успех, а для игрока проигравшей команды это же событие – неудача.

Случайный опыт, который может закончиться одним из двух элементарных событий: успехом или неудачей – называют испытанием Бернулли, или просто испытанием.

Название дано в честь Якоба Бернулли – швейцарского математика, одного из основателей теории вероятностей и математического анализа. Он более 300 лет назад изучал серии испытаний, которые оказались очень важными для науки.

Примеры испытаний Бернулли. Подброшенная монета, которая может упасть либо орлом, либо решкой вверх. Стрелок, который может попасть в мишень, а может промахнуться. Избиратель, который может проголосовать или не проголосовать за некоторого кандидата.

Вероятность того, что испытание Бернулли закончится успехом, обычно обозначают буквой , а вероятность неудачи – буквой .

Вероятность того, что испытание закончится успехом, и вероятность того, что испытание закончится неудачей, в сумме дают  ().
Это значит, что вероятность неудачи можно найти как разность единицы и вероятности успеха (). Чтобы в испытании было действительно два возможных события, будем считать, что  и . Часто к изучению
испытаний Бернулли можно свести случайные опыты, в которых много элементарных событий.

Пример. На хлебозаводе пекут булки.

Номинальная масса булки – 200 г. Масса готовой булки зависит от количества теста, которое отмерил дозирующий автомат.

Известно, что при массовом производстве часто происходят отклонения в ту или иную сторону от номинальной массы. Выбрав случайную булку для контроля, будем считать успехом событие «масса булки отличается от 200 г не больше чем на 10 г».

Тогда противоположное событие «масса булки отличается от 200 г больше чем на 10 г» можно считать неудачей. Таким образом, возникает испытание Бернулли.

Пример. На молочном комбинате в бутылки наливают по 1 л молока. Выбрав случайную бутылку для контроля, будем считать успехом событие «объём молока в бутылке отличается от 1 л не больше чем на 5 мл». Тогда противоположное событие «объём молока в бутылке отличается от 1 л больше чем на 5 мл» можно считать неудачей. Снова возникает испытание Бернулли.
Снова представьте, что вы пытаетесь пройти сложный уровень в видеоигре. У вас есть несколько попыток. Сколько раз придётся попробовать пройти этот уровень, чтобы добиться успеха?

В жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, где что-то пробуем снова и снова, пока не получится. Сколько в среднем нужно попыток и какова вероятность успеха на определённом шаге, нам помогает понять теория вероятностей.

Приведём примеры опытов, в которых испытания проводятся до наступления первого успеха. Как только успех случился, испытания прекращаются.

Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет орёл.

Игральный кубик бросают до тех пор, пока не выпадет 6 очков.

Стрелок в тире стреляет по мишени, пока не собьёт её.

Файл скачивается из Интернета на компьютер. Загрузка идёт до тех пор, пока не пройдёт без ошибок.

Лотерейные билеты покупают до первого выигрыша.

Мобильный телефон в условиях слабой связи пытается отправить СМС. В случае неудачной попытки телефон предпринимает следующую. Так продолжается до тех пор, пока очередная попытка не окажется удачной или пока не кончится время, отведённое на попытки.

Предположим, что в каждом испытании вероятность успеха неизменно равна . Все испытания независимы.

Обозначим неудачу буквой Н, а успех – буквой У. Тогда элементарными событиями этого опыта являются последовательности: У, НУ, ННУ, НННУ, ННННУ и т. д.

Будем считать, что попытки могут продолжаться сколь угодно долго. А значит, теоретически в этом опыте бесконечно много элементарных событий.

Посмотрите, как может выглядеть начальный фрагмент дерева такого опыта.

Здесь элементарные события изображаются цепочками, ведущими из точки S к конечным вершинам. Например, в этом дереве цепочкой, выделенном зелёным цветом, изображается элементарное событие «5 неудач и затем успех».

С помощью правила умножения вероятностей можно найти вероятность элементарного события: нужно найти произведение условных вероятностей вдоль соответствующей цепи.

 – вероятность того, что первая попытка окажется успешной.

 – вероятность того, что вторая попытка окажется успешной.

 – вероятность того, что третья попытка окажется успешной.

 – вероятность того, что четвёртая попытка окажется успешной.

Продолжив рассуждать таким образом, можно получить общую формулу.

Обратите внимание, что есть ещё одно элементарное событие, которое изображается бесконечной цепью неудач SННННН…. Какова вероятность этого элементарного события? Может ли случиться так, что успех никогда не наступит?

Давайте сложим вероятности известных нам элементарных событий.

Выше было сказано, что . Поэтому можно сказать, что у нас получилась сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем .

Вероятности элементарных событий, оканчивающихся успехом, в сумме дают 1. Следовательно, на долю события «бесконечная цепочка неудач» приходится вероятность 0. То есть такое событие не произойдёт. Рано или поздно наступит успех, как бы ни была мала его вероятность. Выше мы договорились считать, что .

Задача. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Какова вероятность того, что стрелку потребуется: а) ровно 3 выстрела; б) не больше 3 выстрелов?

Решение.

а) Найдём вероятность того, что стрелку потребуется ровно 3 выстрела.

В условии сказано, что вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,2сятым. А значит, вероятность неудачи равна разности 1 и 0,2, то есть равна 0,8. Тогда вероятность события «2 неудачи и затем успех» равна 0,128.

б) Найдём вероятность того, что стрелку потребуется не больше 3 выстрелов.

Первый способ.

Пусть событие А – «стрелку потребуется не больше 3 выстрелов». Этому событию благоприятствуют 3 элементарных события: У, НУ, ННУ. Сложим вероятности этих событий и получим 0,488.

Второй способ.

Рассмотрим противоположное событие «стрелку потребуется больше 3 выстрелов». Оно наступает, только если 3 первых выстрела были неудачными. Вероятность этого события равна .

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно, вероятность события А можем найти как разность 1 и . Подставим 0,8 вместо . Выполним вычисления и в результате получим 0,488.

Задание. Симметричную монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Найдите вероятность того, что к моменту выпадения орла будет сделано: а) ровно 2 броска; б) 2 или 3 броска; в) больше 3 бросков.

Решение.

До встречи на следующих занятиях!