Видеоучебник / Математика / 9 класс / Математика. Вероятность и статистика. 9 класс / Выбор точки из числового промежутка

Выбор точки из числового промежутка

Урок 6. Математика. Вероятность и статистика. 9 класс

В уроке рассказываем о выборе точки из числового промежутка. Вспоминаем правило вычисления геометрической вероятности. Рассматриваем примеры. Выполняем задания.

Конспект урока "Выбор точки из числового промежутка"

Напомним, что иногда случайный эксперимент можно представить как выбор точки из некоторой фигуры на плоскости или из промежутка на прямой. В таком эксперименте каждое отдельное элементарное событие имеет нулевую вероятность, поэтому обычный способ подсчёта вероятностей не подходит. На помощь приходит геометрическая вероятность.

В геометрических случайных экспериментах принято считать, что событие и фигура – это одно и то же.

Правило вычисления геометрической вероятности.

Пусть из фигуры производится случайный выбор точки. Вероятность события «выбранная точка принадлежит фигуре , которая содержится в фигуре », равна , где и – площади фигур и соответственно. При этом площадь фигуры должна быть больше 0.

Получается, что вероятности на плоскости измеряются отношением площадей фигур. А вот вероятности на прямой измеряются отношением длин промежутков.

Поговорим о том, как геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам.

Эксперимент. Случайным образом выбирается число , которое удовлетворяет условию .

Этот эксперимент можно заменить экспериментом, в котором на числовой прямой из отрезка выбирается точка с координатой .

Рассмотрим событие, которое состоит в том, что точка с координатой выбрана из отрезка , содержащегося в отрезке .

Обозначим это событие так: . Вероятность этого события равна отношению длин отрезков и .

Пример. Найдём вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка , принадлежит отрезку .

Чтобы найти вероятность данного события, воспользуемся рассмотренной выше формулой. Подставим в эту формулу соответствующие значения. Выполним вычисления.

Пример. Согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. Предположим, что на улицах некоторого города расстояние между пешеходными переходами равно 1 км. Пешеход переходит улицу между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдём вероятность того, что пешеход не нарушает привила.

Воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую таким образом, чтобы участок улица между двумя пешеходными переходами оказался отрезком .

Пусть пешеход собирается переходить улицу в некоторой точке с координатой . Он не нарушает правила, если находится на расстоянии более чем 100 м, или 0,1 км от каждого перехода, то есть если .

Найдём вероятность этого события. Для этого подставим в формулу соответствующие значения. Выполним вычисления.

Пример. Поезд проходит мимо платформы за 30 с. В какой-то момент, совершенно случайно выглянув из своего купе в окно, Иван Иванович увидел, что поезд идёт мимо платформы. Иван Иванович смотрел в окно ровно 10 с, а затем отвернулся. Найдём вероятность того, что он видел Ивана Никифоровича, который стоял ровно посередине платформы.

Снова воспользуемся геометрическим методом. Отсчёт будем вести в секундах.

За 0 с примем момент, когда Иван Иванович поравнялся с началом платформы. Тогда конца платформы он достиг в 30 с.

За с обозначим момент, когда Иван Иванович выглянул в окно. А значит, число случайным образом выбирается из отрезка .

Так как Иван Никифорович стоял ровно посередине платформы, то Иван Иванович поравнялся с ним в 15 с. То есть Иван Иванович увидел Ивана Никифоровича, только если выглянул в окно не позже этого момента, но и не раньше, чем за 10 с до этого. Получается, нам нужно найти вероятность события .