Случайные опыты и элементарные события

Напомним, что событие называют случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

Следует отметить, что о случайных событиях можно говорить только при определённых условиях. Если нет условий, то нет и событий.

Например, случайные события «выпадет орёл» и «выпадет решка» возможны только в эксперименте с подбрасыванием монеты. Без этого о выпадении орла или о выпадении решки говорить нельзя.

Условия и действия, при которых может наступить случайное событие, принято называть случайным опытом, или случайным экспериментом.

Дать точное математическое определение случайного эксперимента непросто, так как для этого требуются абстрактные понятия, которые могут увести нас от цели. Поэтому мы просто иллюстрируем это понятие многочисленными примерами.

Иногда случайный эксперимент – это действительно эксперимент, вроде бросания игрального кубика или подбрасывания монеты. А иногда слово «эксперимент» (или «опыт») подходит меньше. Например, гроза в летний день или снегопад зимой являются случайными событиями. Вот только случайный эксперимент проводит природа, а не человек.

Наступление некоторых событий можно предсказать. Так, мы точно знаем, что в случайном эксперименте с бросанием игрального кубика событие «выпадет меньше 7 очков» является достоверным. А вот событие «выпадет больше 6 очков» является невозможным.

Невозможное и достоверное события принято считать случайными.

В случайном эксперименте могут произойти различные случайные события. Например, вернувшись к случайному эксперименту с бросанием игрального кубика, можно говорить о событии «выпадет 3 очка» и о событии «выпадет нечётное число очков». При этом событие «выпадет нечётное число очков» можно разбить на три события: «выпадет 1 очко», «выпадет 3 очка», «выпадет 5 очков». А вот событие «выпадет 3 очка» на более простые события разделить нельзя.

События случайного эксперимента, которые нельзя разделить на более простые, называются элементарными событиями, или элементарными исходами.

В каждом эксперименте можно выделить элементарные события, из которых состоят все остальные события.

В результате случайного эксперимента обязательно наступает только одно элементарное событие.

Например, в случайном эксперименте с подбрасыванием игрального кубика возможны следующие элементарные события: «выпадет 1 очко», «выпадет 2 очка», «выпадет 3 очка», «выпадет 4 очка», «выпадет 5 очков», «выпадет 6 очков».

Получается, что в этом случайном эксперименте 6 элементарных событий. В более сложных опытах их больше.

Давайте рассмотрим случайный эксперимент, в котором игральный кубик бросают 2 раза.

Этот эксперимент может окончиться одним из 36 равновозможных элементарных событий, которые удобно изображать с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек. Номер строки показывает, сколько очков выпало при первом броске, а номер столбца – сколько очков выпало при втором броске. Например, если при первом броске выпало 3 очка, а при втором броске – 5 очков, то в таблице это можно изобразить, закрасив соответствующую клеточку (или поставив в ней крестик).

При двух бросаниях игрального кубика элементарным событием является упорядоченная пара чисел.

Это таблица эксперимента «игральный кубик бросают 2 раза». Элементарным событием этого эксперимента является пара (3; 5).

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Игральный кубик бросают 2 раза. Какие из перечисленных случайных событий являются достоверными, а какие – невозможными?

Решение.

Событие  – «сумма выпавших очков больше 12».

При бросании игрального кубика максимальное число очков, которое может выпасть, равно 6. Тогда максимально возможное число очков при двукратном бросании кубика равно 12. Получается, сумма выпавших очков не может быть больше 12. А значит, событие  является невозможным.

Событие  – «в сумме выпадет 1 очко».

При бросании игрального кубика минимальное число очков, которое может выпасть, равно 1. Тогда при бросании кубика дважды минимальное число очков равно 2. Получается, сумма выпавших очков не может быть меньше 2. Значит, событие  является невозможным.

Событие  – «сумма выпавших очков меньше 50».

При двукратном бросании кубика сумма выпавших очков не может быть больше 12, а значит, она всегда будет меньше 50. Тогда получается, что событие  является достоверным.

Задание второе. В киоске продаётся сливочное и шоколадное мороженое. Оля и Катя покупают по одной порции. Выпишите все элементарные события этого случайного эксперимента. Сколько всего получилось элементарных событий?

Решение.

Все элементарные события записаны в таблице.

Всего 4 элементарных события.

Задание третье. В киоске продаётся сливочное, шоколадное и клубничное мороженое. Оля и Катя покупают по одной порции. Выпишите все элементарные события этого случайного эксперимента. Сколько всего получилось элементарных событий?

Решение.

Все элементарные события записаны в таблице.

Всего 9 элементарных событий.

Задание четвёртое. Игральный кубик бросают 2 раза. Изобразите таблицу элементарных событий этого случайного эксперимента. Закрасьте элементарные события, при которых в сумме выпадет: а) ровно 5 очков; б) ровно 9 очков.

Решение. Данный эксперимент может окончиться одним из 36 равновозможных элементарных событий, которые удобно изображать с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек.

До встречи на следующих занятиях!