Свободное падение тел. Движение тела под углом к горизонту

Частным случаем равноускоренного движения является свободное падение тел. Жизненный опыт нам подсказывает, что любое тело, если его ничего не поддерживает, падает на поверхность Земли, постоянно увеличивая свою скорость. При этом мы видим, что лёгкие предметы падают гораздо медленнее, чем тяжёлые. Так и хочется сказать, что время падения зависит от массы тела — чем она больше, тем быстрее падает тело.

Такие мысли посещали не одно поколение учёных, в том числе и древнегреческого учёного Аристотеля, который первым указал на эту зависимость падения тел. При этом взгляды Аристотеля казались настолько очевидными, что в течение почти 18 веков никто не подвергал их сомнению.

Лишь в конце XVI века Галилео Галилей усомнился в этом. Согласно легенде, в 1589 году на глазах многочисленной публики он одновременно сбросил с вершины Пизанской башни два пушечных ядра различной массы. Каково же было удивление зевак, когда два ядра полетели вместе и вместе достигли земли.

«Глухой удар падающих ядер о землю прозвучал как похоронный звон над старой системой физики и возвестил о зарождении новой», — позже написал британский учёный Оливер Лодж.

Различную скорость падения других тел Галилей объяснял наличием сопротивления воздуха. Тогда предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, великий итальянец вывел следующие законы падения тел для идеального случая:

Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью.

Движение происходит с постоянным ускорением.

Для доказательства правоты Галилея Исаак Ньютон провёл очень простой и убедительный опыт. Он взял стеклянную трубку, в которую поместил дробинку, кусочек пробки, пушинку и так далее. Затем он перевернул трубку и наблюдал, как сначала упала дробинка, затем пробка и только потом — пушинка. Но вот когда он откачал из трубки почти весь воздух и повторил эксперимент, то увидел, как все три предмета упали на дно трубки одновременно.

Одновременное падение тел в разреженном воздухе доказывает, что все тела падают с одинаковым ускорением. Падение тел под действием только гравитационного поля Земли называется свободным падением. Поскольку сила тяжести, действующая на тело вблизи поверхности Земли в данной её точке, постоянна, то свободно падающее тело движется с постоянным ускорением, называемым ускорением свободного падения. Причём для всех тел в одном и том же месте оно одинаково и направлено по вертикали вниз.

Обратим внимание на то, что свободное падение — это не обязательно только движение вниз. Так, если мы подбросим камень, то он при своём свободном падении некоторое время будет двигаться вверх, уменьшая свою скорость до нуля, и лишь потом начнёт падать.

При изучении свободного падения тел мы будем рассматривать только такие движения, в которых сопротивлением воздуха можно пренебречь. Тогда эти движения будут описываться уже известными нам кинематическими уравнениями:

Теперь давайте изучим движение тела, начальная скорость которого направлена под некоторым углом к горизонту (или под углом к ускорению свободного падения). С таким видом движения приходится встречаться довольно часто. Например, так движется теннисный мячик после удара по нему ракеткой. Полет пуль и снарядов также представляет собой пример движения тел, брошенных под углом к горизонту.

Итак, найдём траекторию тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью.

Для описания движения выберем две взаимно перпендикулярные оси координат таким образом, чтобы векторы начальной скорости и ускорения свободного падения лежали в одной плоскости. Начала отсчёта совместим с начальным положением тела.

Теперь запишем кинематические уравнения равноускоренного движения (а движение у нас действительно равноускоренное, потому что модуль и направление ускорения с течением времени не изменяются):

Так как начало координат совмещено с точкой бросания, то начальные координаты тела равны нулю:

В выбранной системе координат проекция вектора ускорения на ось Х равна нулю, а на ось Y — –g.

Из полученного рисунка видно, что проекцию вектора начальной скорости можно выразить через её модуль и косинус или синус угла, который этот вектор образует с положительным направлением оси:

Перепишем кинематические уравнения движения с учётом начальных условий:

Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело, брошенное под углом к горизонту, движется равномерно, а в вертикальном — равноускоренно.

В этом легко убедиться. Так, если посмотреть на такое движение тела сверху, то мы увидим, как оно движется вдоль прямой с постоянной скоростью. А если посмотреть на это движение сбоку, то мы сначала увидим, как шарик замедленно поднимается вверх, а потом ускоренно падает вниз.

Для построения траектории движения найдём её уравнение (то есть найдём зависимость у = у(х). Чтобы получить это уравнение нам с вами необходимо исключить время из уравнений движения. Для этого выразим из уравнения движения тела вдоль оси Х время:

И подставим его во второе уравнение:

Обратите внимание на то, что

После замены мы приходим к простой квадратичной функции, известной нам ещё из курса алгебры. Напомним, что её графиком является парабола. Причём ветви параболы будут направлены вниз, так как значение коэффициента b меньше нуля.

Таким образом мы с вами показали, что тело, брошенное под углом к горизонту, действительно движется по параболе (конечно при условии, что ускорение свободного падения постоянно).

Теперь давайте определим время полёта. Для этого воспользуемся уравнением движения тела вдоль оси OY. При этом учтём, что в момент падения тела на землю его координата становится равной нулю:

Решая простое квадратное уравнение, найдём формулу, по которой можно рассчитать время полёта тела:

Второй корень уравнения, равный нулю, соответствует моменту броска.

Теперь легко определить дальность полёта. Для этого подставляем найденное значение времени в уравнение движения тела вдоль оси Икс:

Полученное выражение можно упростить, если вспомнить о том, что удвоенное произведение синуса на косинус — это синус двойного угла:

Также мы можем найти максимальную высоту подъёма и время подъёма тела на эту высоту. Для этого воспользуемся уравнением скорости для равноускоренного движения в проекциях на ось Y:

Теперь учтём, что в верхней точке траектории проекция скорости на ось игрек равна нулю:

Решая простое линейное уравнение, найдём время подъёма тела на максимальную высоту:

 Нетрудно заметить, что это время в два раза меньше времени всего полёта. Таким образом, получается, что сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько же времени оно и опускается с неё.

Подставив полученное выражение для времени в уравнение движения вдоль оси игрек, найдём максимальную высоту подъёма тела:

Теперь давайте рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, и выясним, какой будет траектория этого тела. Для этого опять воспользуемся уравнениями движения, записанными в координатной форме:

Для описания движения тела выберем две взаимно перпендикулярные о́си координат таким образом, чтобы векторы начальной скорости и ускорения свободного падения лежали в одной плоскости. При этом пусть положительное направление оси Y совпадает с направлением вектора ускорения свободного падения. Начало отсчёта совместим с начальным положением тела.

При таком выборе системы координат, начальные координаты тела равны нулю. Также равны нулю проекция начальной скорости на ось Y и проекция ускорения на ось X. Тогда:

Перепишем уравнения движения с учётом начальных условий:

Их анализ показывает, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно, а в вертикальном — равноускоренно с ускорением свободного падения.

Когда скорость тела направлена горизонтально, оно движется по ветви параболы, вершина которой находится в точке бросания.

Предлагаем вам самостоятельно определить время и максимальную дальность полёта тела.

Таким образом, на основании рассмотренных нами примеров можно сделать вывод о том, что любое сложное движение можно представить, как сумму движений по двум независимым координатам. В этом состоит суть закона независимости движений.