Функция у = tg x и её график

Сегодня на уроке мы с вами поговорим о функции . Познакомимся с графиком функции . А также рассмотрим основные свойства этой функции.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте напомним, что областью определения функции  является множество действительных чисел, кроме , . Множеством значений функции является множество действительных чисел. Также мы знаем, что функция  является нечётной и периодической с периодом .

Известно, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Поэтому мы построим график функции  на промежутке , а затем отразим его относительно начала координат и получим график на интервале .

Прежде чем начать строить график функции на промежутке , покажем, что на этом промежутке функция  возрастает.

Пусть . Покажем, что , то есть .

По условию и. ,  входит в указанный промежуток. А также по свойству возрастания функции  имеем .

,  не входит в указанный промежуток. А также по свойству убывания функции  имеем , откуда .

Теперь, перемножив неравенство  и неравенство , получим, что . Таким образом, мы показали, что функция  возрастает на промежутке .

Зная это, найдём координаты нескольких точек графика функции . Заполним таблицу.

Отметив полученные точки на координатной плоскости, построим график функции  на промежутке . Теперь отразим построенный график относительно начала координат и получим график на интервале .

Мы знаем, что  и при  функция  не определена.

Если  и  приближается к , то  приближается к 1, а , оставаясь положительным, приближается к 0. При этом дробь , равная , неограниченно возрастает, и поэтому график функции  приближается к вертикальной прямой .

Аналогичным образом при отрицательных значениях , больших  и приближающихся к , график функции  приближается к вертикальной прямой .

Прямые  и  являются вертикальными асимптотами графика функции .

Функция  периодическая с периодом . Тогда её график на всей области определения получается из графика на интервале  сдвигами вдоль оси абсцисс на , .

Так, весь график рассматриваемой функции строится с помощью геометрических преобразований его части, которую мы построили на промежутке .

График функции  называется тангенсоидой.

А сейчас давайте поговорим об основных свойствах функции .

Итак, область определения функции – множество действительных чисел, кроме , . Множество значений – множество всех действительных чисел. Функция периодическая с периодом . Нечётная.

Функция  принимает значение, равное 0, при , .

Положительные значения функция принимает на интервалах , , а отрицательные – на интервалах , .

Функция  возрастает на любом интервале , .

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Решение.

Задание второе. Найдите все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

Решение.

Задание третье. Решите неравенство .

Решение.