Операции над множествами

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, что множество нужно понимать как совокупность каких-либо элементов (объектов), объединённых по некоторому признаку. Предполагается, что элементы множества можно отличить друг от друга и от элементов, не входящих в это множество.

Множество можно записать одним из двух способов.

Первый способ. Можно явно перечислить все элементы множества.

Второй способ. Можно описать множество, то есть указать признак, которым обладают все элементы этого множества.

Несмотря на то, что слово «множество» намекает, что элементов может быть много, во множестве может быть только один элемент. Также множество может быть пустым, то есть не иметь элементов вовсе.

Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного элемента.

Поговорим об операциях над множествами.

Пересечения множеств.

Разные множества могут иметь общие элементы. Эти элементы образуют новое множество, которое называют пересечением данных множеств. Для обозначения пересечения множеств используют значок .

Пресечение множеств  и  – это множество, которое содержит элементы, принадлежащие и множеству , и множеству .

Аналогичным образом можно определить пересечение любого количества множеств.

Пример. Пусть даны множества:  и .

Пересечением этих множеств является множество из двух элементов: .

Числа 1 и 3 не принадлежат множеству , поэтому они не принадлежат и пересечению.

Числа 9 и 11 не принадлежат множеству , поэтому они не принадлежат и пересечению.

А вот числа 5 и 7 принадлежат и множеству , и множеству , поэтому они и образуют .

Объединении множеств.

Два или несколько множеств можно объединить в одно. В результате получится новое множество, которое называют объединением. Для обозначения объединения множеств используют значок .

Объединение множеств и  – это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств  и .

Аналогичным образом можно определить объединение любого количества множеств.

Пример. Объединим множество  и множество .

Получится множество .

Числа 1 и 3 принадлежат , потому что они принадлежат множеству .

Числа 9 и 11 принадлежат о, потому что они принадлежат множеству .

Числа 5 и 7 тоже принадлежат , так как они принадлежат и множеству , и множеству . При этом обратите внимание, что они считаются только по одному разу, а не по два.

Запомните! При объединении множеств общие элементы учитываются один раз.

Пример. Даны два числовых отрезка:  и .

Найдём пересечение и объединение этих отрезков. Для этого на числовой прямой изобразим данные отрезки.

Видим, что пересечением данных отрезков является их общая часть, то есть отрезок .

Объединением этих отрезков является отрезок .

Вот таким образом, изобразив на числовой прямой два числовых множества, мы смогли увидеть их пересечение и объединение.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Даны два множества:  и . Перечислите элементы множества, которое является пересечением данных множеств, и элементы множества, которое является объединением данных множеств.

Решение.

Задание второе. Даны два числовых промежутка:  и . Запишите промежуток, который является их пересечением, и промежуток, который является их объединением.

Решение.

До встречи на следующих занятиях!