Числовые множества

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, что множество нужно понимать как совокупность каких-либо элементов (объектов), объединённых по некоторому признаку. При этом предполагается, что элементы множества можно отличить друг от друга и от элементов, не входящих в это множество.

Например, можно говорить о множестве книг в данной библиотеке, множестве вершин данного пятиугольника, множестве всех звёзд, входящих в созвездие Большой Медведицы.

Множество можно записать одним из двух способов.

Первый способ. Можно явно перечислить все элементы множества.

Второй способ. Можно описать множество, то есть указать признак, которым обладают все элементы этого множества.

Несмотря на то, что слово «множество» намекает, что элементов может быть много, во множестве может быть только один элемент. Более того, множество может быть пустым, то есть не иметь элементов вовсе.

Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного элемента.
Также напомним, что множество называется подмножеством множества , если любой элемент множества  принадлежит множеству .

Важно помнить, что пустое множество является подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя. Поэтому, каково бы ни было множество , можно записать:  и .

В математике чаще всего приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми.

Числовое множество – это фундаментальное понятие в математике, которое объединяет числа по определённым свойствам или правилам.

Числовые множества настолько важны в математике, что за ними закрепились постоянные названия и обозначения.

Числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., использующиеся для счёта предметов или для указания порядкового номера предмета, называются натуральными.

, , .

Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 образуют множество целых чисел.

, , , .

Обратите внимание, как с помощью кругов Эйлера можно показать соотношение между множеством целых и множеством натуральных чисел.

Числа, которые можно представить в виде , где  – целое число, а  – натуральное число, называются рациональными.

Слово «рациональное» происходит от латинского слова, которое переводится как отношение, деление, дробь.

, , , , .

Отметим, что всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или бесконечной периодической десятичной дробью

Посмотрите, как с помощью кругов Эйлера можно показать соотношение между множествами рациональных, целых и натуральных чисел.

Множество всех чисел на координатной прямой называют множеством действительных чисел и обозначают .

Говорят, что между множеством точек координатной прямой и множеством действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.

Множество действительных чисел – это множество чисел .

Перечисленные множества включаются одно в другое.

Посмотрите, как это можно показать с помощью кругов Эйлера.

Числовые промежутки – отрезки, интервалы, полуинтервалы – также являются числовыми множествами.

В следующей таблице приведены все виды числовых промежутков.

В завершение занятия отметим, что числовые множества играют ключевую роль в теории вероятностей, так как они позволяют формально описывать множество возможных результатов эксперимента, случайные величины и вероятностные распределения.

До встречи на следующих занятиях!