Занятие кружка в 5 классе по теме "Комбинаторика"

Комбинаторика и подсчет числа способов

1. В стране 3 города А, B и С. Из города А в город B ведет 3 дороги, а из города B в город С – 4 дороги. Других дорог в стране нет. Сколькими способами можно доехать из А в C?

2. На столе стоит 5 разных чашек, 4 разных блюдца и 3 разных ложки. Сколькими способами можно выбрать чашку с блюдцем и ложкой?

3. В стране 4 города А, B, С и D. Из города А в город B ведет 3 дороги, из города B в город С – 4 дороги, а из С в D 6 дорог. Других дорог в стране нет. Сколькими способами можно доехать из А в D?

4. В стране 4 города А, B, С и D. Из города А в город B ведет 3 дороги, а из города B в город С – 4 дороги, также из А в D ведет 2 дороги, а из D в С – 5 дорог. Других дорог в стране нет. Сколькими способами можно доехать из А в С?

5. В магазине продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

6. Вася считает натуральное число симпатичным, если в его записи встречаются только нечетные цифры. А Петя считает натуральное число симпатичным, если в его записи встречаются только четные цифры. А сколько существует 4-значных симпатичных чисел по версии каждого из ребят?

7. Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее "Спортпрогноз"? В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет.

8. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Допустим, что в футбольной команде нужно выбрать двоих людей, чтобы послать купить воды. Сколько способов выбрать такую пару? В чем отличие от выбора капитана и заместителя?

9. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется ткань шести различных цветов?

10. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

11. Каждую клетку квадрата 3х3 делят диагональю на две части (диагональ может быть любая из двух). Получается квадрат 3х3, разбитый на 18 одинаковых треугольников, каждый по полклетки. После этого каждый треугольник красят в один из двух цветов, черный или белый, причем так, чтобы одноцветные треугольники не имели общую сторону. Сколько способов провести такое разбиение и раскраску?

12. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы они не стояли в соседних по стороне или по диагонали клетках?

Занятие школьного кружка 5 класса, первый год обучения, 10-11 лет, дети не отобраны. По теме занятие первое, с начала года занятие 5.

Задачи занятия посвящены комбинаторике. Ребята должны почувствовать
правило произведения (но произносить таких слов не нужно). Никаких формальных
правил здесь мы не формулируем. Ребята должны просто прочувствовать это, решая
конкретные задачи.

1 и 2 задачи, это разминка (5 минут).

Через 5 минут эти задачи нужно разобрать.

3, 4, 5 – предварительные задачи (их нужно решать примерно 15 минут), после тоже разобрать.

С 6 по 11 – основные задачи, их разбор (возможно, не всех) в конце занятия.

Указания, подсказки и решения

В задачах с городами и дорогами полезно сделать рисунки (пропедевтика графов)

1. Из А в B можно приехать любой из 3 дорог, обозначим их 1 2 3. Из B в С 4 дороги, обозначим их a, b, c, d. Если сначала проехать по дороге 1, то потом можно выбрать любую из 4 дорог: 1a 1b 1c 1d. Также и с остальными дорогами 2 и 3. То есть всего путей 4+4+4, или 4х3=12.

2. Любая из 5 чашек сочетается с любой из 4 ложек, то есть всего 5х4=20 способов выбрать чашку с блюдцем, каждый из этих способов сочетается с любой из 3 ложек. То есть всего 20х3=60 способов.

Базовый пример. Пусть мы выбираем один предмет из 4 чашек и 3 ложек. Тогда у нас 4+3 способа выбрать. Если же мы выбираем ВМЕСТЕ и чашку, и ложку, то любой из 4 вариантов ложек комбинируется с любым выбором из 3 ложек, то есть общее число вариантов — это произведение 4х3=12.

Общая идея: если нужно сделать выбор в КАЖДОЙ из нескольких ситуаций, то общее число вариантов получается произведением вариантов в каждом случае. Если же мы выбираем что-то ОДНО из двух вариантов, то варианты складываются.

3. Варианты перемножаются, всего 3х4х6=72.

4. Заметим, что из А в С можно добраться ИЛИ через В или через D. То есть мы выбираем ровно один из этих вариантов. Для способа через B всего вариантов 12, а через D вариантов 10. Поскольку можно доехать либо через B, либо через D, то нужно сложить 10+12=22.

5. Есть три способа выбора двух названий. Чашку и блюдце можно взять 15 способами, блюдце и ложку – 12 способов, чашку и ложку – 20 способов. Мы выбираем ОДИН из вариантов выбора двух названий, то есть нужно сложить 15+12+20=47.

Важно прочувствовать, в каких случаях нужно складывать, а в каких умножать.

6. Каждую нечетную цифру можно выбрать 5 способами, всего 625 вариантов. Если цифры четные, то первая не может быть нулем, поэтому вариантов уже 4х5х5х5=500.

7. Всего три исхода в каждом из 13 матчей, значит, число вариантов 3 в 13 степени.

3¹³ = 1594323

8. Капитана можно выбрать 11 способами, а зама – уже 10 способами, всего 110 вариантов. Если выбирают пару, то можно выбрать сначала одного, а потом другого, а можно наоборот, это будут разные посчитанные варианты, но пара одна и та же, то есть ее посчитали дважды, итого 55 вариантов. Отличие вариантов в том, что выбрать пару А и B не то же самое, как выбрать упорядоченную пару АB или BА.

9. 6 вариантов для первой полосы, 5 для второй, 4 для третьей, всего 120.

10. Белую ладью можно поставить на любое из 64 полей, она будет бить 15 полей, включая поле, на котором она стоит. На оставшееся поля можно поставить черную ладью 49 способами. Итак, белую и чёрную ладью можно расставить 64·49 = 3136 способами.

11. Левый нижний угол разбивается двумя способами и красится еще 2, то есть всего 4 способа. Клетку сверху от угла можно разбить и покрасить 2 способами, так как треугольник, примыкающий к угловой клетке, должен быть заданного цвета, и его можно поставить 2 способами. Аналогично, клетку в левом верхнем углу, и две клетки в нижнем ряду. Всего 4х2х2х2х2=64 варианта, и осталось покрасить еще 4 клетки, кроме левого столбца и нижней строки. Но остальные клетки красятся единственным способом, так как задан цвет треугольника, который примыкает к левой и нижней стороне.

12. Белого короля можно поставить на любое из 64 полей. Но количество полей, которое он бьет, зависит от расположения, и эти случаи надо рассмотреть отдельно.

Если король стоит в угловой клетке, то он бьет 4 поля, и остается 60 полей для черного короля, то есть это 4х60 вариантов (угла всего 4).

Если белый король на крайней линии, но не в углу (таких полей 24: 4 линии по 6 клеток), то для черного короля остается 58 полей. Всего 24x58 вариантов.

Если белый король не на угловых, и не на краю (таких полей 64-24-4=36), то он бьет 9 полей и для черного короля остаётся 55 полей, итого 36х55.

Итого, складываем варианты для всех трех возможных ситуаций 4х60+24х58+36х55=240+1392+1980=3612 способов.