Классная работа 08.12.22
Задание Алгебра логики ЕГЭ №2-разбор.
-
Логическая функция F задаётся выражением (a c) (¬a (b ¬c)). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.
? | ? | ? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы a, b, c в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.
Необходимо понять, что столбцы с переменными в задании переставлены, а затем отсортированы по возрастанию.
Общий подход к решению - заполнить таблицу истинности для заданных столбцов, обычно переменные располагают в алфавитном порядке:
a | b | c | F |
0 | 0 | 0 |
|
0 | 0 | 1 |
|
0 | 1 | 0 |
|
0 | 1 | 1 |
|
1 | 0 | 0 |
|
1 | 0 | 1 |
|
1 | 1 | 0 |
|
1 | 1 | 1 |
|
Последний столбец, естественно, будет содержать значение функции F не в том порядке, как в заданной таблице, так как столбцы в ней переставлены!
Затем производится анализ полученной таблицы и отождествление ее с заданной по строкам и столбцам, это дает возможность определить, как именно переставлены столбцы в задании.
Задача построения таблицы истинности может быть решена тремя способами:
1) вручную – для первой строки – (0 0) (¬0 (0 ¬0))= 0 (1 (01))= 0 (1 1)= 01=1 и т.д.
2) с помощью электронных таблиц, например, MS EXCEL,
3) с помощью программы, написанной на языке программирования.
Рассмотрим второй способ.
При записи выражений в ЭТ нужно помнить, что в них применяется не инфиксный способ записи выражений (переменная – операция-переменная) а префиксный (операция – переменна – переменная)!!! В ЭТ сначала пишется функция, затем в круглых скобках ее параметры через точку с запятой.
Таким образом, инверсия будет выглядеть как = НЕ(ячейка),
конъюнкция как =И(ячейка1;ячейка2),
дизъюнкция как =ИЛИ(ячейка1;ячейка2),
импликация как =ЕСЛИ(И(ячейка1=1;ячейка2=0);0;1) – импликация равна 0 только в случае, если из 1 следует 0,
эквиваленция как =ЕСЛИ(ячейка1=ячейка2;1;0) – эквиваленция равна 1, если переменные равны
Сначала заполняем исходную таблицу:
Необходимо четко понимать порядок выполнения операций! Скобки – НЕ - И – ИЛИ – ИМПЛИКАЦИЯ – ЭКВИВАЛЕНЦИЯ. Можно, конечно, сразу записать функцию F в одну строку, только это выглядит громоздко и можно допустить ошибку:
Протаскиваем формулу на остальные семь строк.
Для упрощения можно разделить отдельные операции и работать с ними по столбцам, ИСПОЛЬЗОВАВ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ:
Протаскиваем четыре формулы на остальные семь строк
Как видим, последние столбцы при работе двумя способами получились идентичны. Точно такую же таблицу можно было получить первым способом.
Т еперь нужно соотнести полученные строки и столбцы с заданными в задаче.
? | ? | ? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
С троки с тремя 0 или тремя 1 нам не могут дать информации, где какая переменная. Выбираем строки, по которым можно идентифицировать переменные, например, есть три строки, где два 0 и одна 1, две их них равны 0, вторая 1. Эта строки уникальна, она не повторяется:
? | ? | ? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Значит, можем легко определить переменную, равную 1 в этой строке – это b!
? | ? | b | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Осталось определить, где a и c (первый или второй столбцы). Рассмотрим, например, такие строки:
? | ? | b | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Они нам ничего не дадут, так как мы знаем b в обоих случаях, и две неизвестных переменных, но они могут быть и 0, и 1 – проанализировать нельзя.
? | ? | b | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Точно так же ничего не даст и следующая пара строк.
О стается строка:
? | ? | b | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Там, где 0 – это a, где 1 – c.
c | a | b | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Ответ: cab.
Рассмотрим третий способ построения таблицы истинности – с помощью языка программирования.
Программа должна будет перебрать в циклах по трем переменным разные значения логических переменных (ложь и истина) и вывести строки с вычисленной для них функцией на экран.
Паскаль:
Как видно, таблица получилась та же самая.
Python (логические переменные можно писать как 0 и 1, можно как false и true):
print('a b c f')
for a in 0, 1:
for b in 0, 1:
for c in 0, 1:
F = (a and c) or (not(a) and (b or not(c)))
print(x, y, z, f)
Для вычисления значения функции необходимо понимать, как логические операторы записываются на языке программирования; например, их можно реализовать следующим образом:
∧ конъюнкция and
(для языков, где логическое значение True воспринимается как 1, а False – как 0, можно использовать и обычное умножение *)
∨ дизъюнкция or
¬ отрицания not()
≡ тождество ==
⊕ строгая дизъюнкция !=
→ импликация – для импликации оператора нет, но импликацию можно преобразовать в дизъюнкцию; например, a → b можно записать как ¬a ∨ b, а это в свою очередь записать как not(a)or b, not a or b или a
Задачи для решения на отметку (дать ответ и приложить решение одним из трех способов, описанных выше):
2) Логическая функция F задаётся выражением x (¬y z w y ¬w). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
? | ? | ? | ? | F |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.
-
Логическая функция F задаётся выражением (x y) (y z). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
? | ? | ? | F |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.
-
Логическая функция F задаётся выражением (x y) (y z). На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
? | ? | ? | F |
| | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.
-
Логическая функция F задаётся выражением ((x z) (z w)) (y (x z)). На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
? | ? | ? | ? | F |
| 1 |
| | 0 |
|
| 1 | 1 | 0 |
| 1 |
| 1 | 0 |
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
X | Y | Z | F |
0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 |
Самостоятельная работа (простые задачи с выбором ответа, решаются просто подстановкой значений и определением значения выражения, нужно просто найти верный ответ)
-
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое
выражение соответствует F?
1) A → ¬B ¬C 2) A → B C 3) ¬A → B C
-
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Какое выражение соответствует F?
1) x1 ¬x2 x3 ¬x4 x5 x6 ¬x7
2) ¬x1 x2 ¬x3 x4 ¬x5 ¬x6 x7
3) ¬x1 x2 ¬x3 x4 x5 x6 x7
4) x1 ¬x2 x3 ¬x4 ¬x5 ¬x6 ¬x7
-
Дано логическое выражение, зависящее от 6 логических переменных:
X1 ¬X2 X3 ¬X4 X5 X6
Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно?
1) 1 2) 2 3) 63 4) 64
-
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Какое выражение соответствует F?
1) x1 → (x2 x3 x4 x5 x6 x7)
2) x2 → (x1 x3 x4 x5 x6 x7)
3) x3 → (x1 x2 x4 x5 x6 x7)
4) x4 → (x1 x2 x3 x5 x6 x7)
5) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | F |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Какое выражение соответствует F?
1) x1 ¬x2 x3 ¬x4 x5 ¬x6 x7 x8 ¬x9 x10
2) ¬x1 x2 ¬x3 x4 ¬x5 x6 ¬x7 ¬x8 x9 ¬x10
3) x1 ¬x2 x3 ¬x4 x5 ¬x6 x7 x8 ¬x9 x10
4) ¬x1 x2 ¬x3 x4 ¬x5 x6 ¬x7 ¬x8 x9 ¬x10
-
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | F |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Какое выражение соответствует F?
1) (x1 ¬x2) (x3 ¬x4) x5 ¬x6 x7 x8 ¬x9 x10
2) (x1 ¬x2) (x3 ¬x4) ¬x5 ¬x6 x7 x8 ¬x9 x10
3) (¬x1 x2) (¬x3 x4) x5 x6 ¬x7 ¬x8 ¬x9 x10
4) (¬x1 x2) (¬x3 x4) ¬x5 x6 ¬x7 ¬x8 x9 ¬x10