Внутришкольная олимпиада по математике

1 тур.

1. Какой цифрой оканчивается сумма 54³⁵+28²¹?(3б)

2. Докажите, что при всех положительных значений a,в, с верно

8авс≤(а+в)(в+с)(с+а). (3б)

3. Решите в целых числах уравнение:

х² = у²+2у+13.(4б)

4. Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между другими медианами. (5б).

Внутришкольная олимпиада по математике 10 класс.

2 тур.

1. Дузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке дает квадрат натурального числа. Найдите все эти двузначные числа. (3б)

2. Дан четырехугольник МКFE, точки А, В, С, Д – последовательные середины его сторон, т. Р, Q – середины диагоналей четырехугольника. Доказать, что треугольник ВСР =

= АДQ. (4б)

3. На одной ферме число коров на 12,5% меньше, чем на другой, но средний удой каждой коровы на 8% выше. На какой ферме получают молока меньше и на сколько процентов? (4б)

4. Доказать, что выражение 2+2²+2³+……+2⁹⁹+2¹⁰⁰ делится на 3? (4б)

Внутришкольная олимпиада по математике 9 класс.

1 тур

1. Сколькими нулями оканчивается число 100!, т.е. произведение всех целых чисел от 1 до 100? (5б)

2. Решите уравнение, в натуральных числах х²-у²=45. (4б)

3. Сколько нужно сделать разрезов плоскостями так, чтобы из куба с ребром в 3дм получить кубики с ребром в 1дм? (3б)

2 тур

1. У уравнения (х²+…)(х+1)=(х⁴+1)(х+2) одно число стёрто. Найдите его, если известно, что один из корней этого уравнения равен 1. (3б)

2. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой одного из углов при нижнем основании, которое вдвое больше верхнего. Найти углы трапеции. (7б)

3. Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найти первоначальное число. (5б)

Весь материал - в документе.

Внутришкольная олимпиада по математике 10 класс

1 тур.

1. Какой цифрой оканчивается сумма 54³⁵+28²¹?(3б)

2.Докажите, что при всех положительных значений a,в, с верно

(3б)

3.Решите в целых числах уравнение:

х² = у²+2у+13.(4б)

4. Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между другими медианами. (5б).

Внутришкольная олимпиада по математике 10 класс.

2 тур.

1.Дузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке дает квадрат натурального числа. Найдите все эти двузначные числа. (3б)

2. Дан четырехугольник МКFE, точки А, В, С, Д – последовательные середины его сторон, т. Р, Q – середины диагоналей четырехугольника. Доказать, что треугольник ВСР =

= АДQ. (4б)

3. На одной ферме число коров на 12,5% меньше, чем на другой, но средний удой каждой коровы на 8% выше. На какой ферме получают молока меньше и на сколько процентов? (4б)

4. Доказать, что выражение 2+2²+2³+……+2⁹⁹+2¹⁰⁰ делится на 3? (4б)

Внутришкольная олимпиада по математике 9 класс.

1 тур

1. Сколькими нулями оканчивается число 100!, т.е. произведение всех целых чисел от 1 до 100? (5б)

2. Решите уравнение, в натуральных числах х²-у²=45. (4б)

3. Сколько нужно сделать разрезов плоскостями так, чтобы из куба с ребром в 3дм получить кубики с ребром в 1дм? (3б)

2 тур

1. У уравнения (х²+…)(х+1)=(х⁴+1)(х+2) одно число стёрто. Найдите его, если известно, что один из корней этого уравнения равен 1. (3б)

2. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой одного из углов при нижнем основании, которое вдвое больше верхнего. Найти углы трапеции. (7б)

3. Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найти первоначальное число. (5б)

Внутришкольная олимпиада по математике 11 класс

1 тур

1. Докажите, что 333⁵⁵⁵+555³³³ делится на 37. (4б)

2. Есть четыре одинаковых кирпича размером 1х2х4. Объясните, как составить из них прямоугольный параллелепипед с наибольшей возможной длиной диагонали. (3б)

3. Докажите неравенство:

Внутришкольная олимпиада по математике 11 класс

2 тур

1. В школе 370 учащихся. Докажите, что некоторые из них отмечают свой день рождения в один день. (4б)

2. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника. Найдите углы треугольника. (5б)

3. Решите уравнение в целых числах ху+3х-5у= -3. (6б)