Урок алгебры и начала анализа в 11 классе по теме "Линейные уравнения с модулем"

Тема: Линейные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Цель: 1. Познакомить учащихся со способами решения линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля; выработать у учащихся умение определить более эффективный способ решения данного уравнения; сформировать умение применять способы решения линейных уравнений для решения конкретных уравнений.

2. Развивать логическое мышление, любовь в математике.

3. Воспитывать терпеливость, аккуратность, настойчивость.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Объяснение материала.

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (абсолютной величины) чаще всего используют следующие способы:

1. Раскрытие модуля на основании его определения:

1. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

2. Метод разбиения на промежутки.

Рассмотрим данные методы на примерах.

Решить уравнение |5х-2|=8

1 способ: раскрытие модуля на основании его определения.

По определению модуля данное уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем:

а)

б)

Решая данные системы, получим: х₁=2, х₂=-1,2. Ответ: х₁=2, х₂=-1,2.

2 способ: возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Так как обе части исходного уравнения неотрицательны, то оно равносильно уравнению:

(|5х-2|)²=8², но т.к. |z|²=z², тогда получим (5х-2)²=64

5х-2=8 или 5х-2=-8, х₁=2, х₂=-1,2. Ответ: х₁=2, х₂=-1,2.

3 способ: метод разбиения на промежутки.

Рассмотрим данный метод подробнее.

1. Находят критические точки, т.е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2. Разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3. На каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решение рассматриваемого уравнения.

Решим наше уравнение 3^им способом:

|5x-2|=8

1. Найдем критические точки

5х-2=0, х=2/5

2. Область допустимых значений разобьет критическая точка (2/5) на два промежутка:

I промежуток: х є (-∞;2/5)

II промежуток: х є [2/5;∞)

3. Рассмотрим уравнение на I промежутке:

xy(0)=2*0-2=-2

Раскроем модуль:

-(5х-2)=8

-5х+2=8

-5х=6

Х=-1,2 -1,2 є (-∞;2/5)

-1,2 – корень уравнения

х≥2/5 у(3)=2*3-2=40

Раскроем модуль:

5х-2=8

5х=10

Х=2 2 є [2/5;∞)

2 – корень уравнения

Ответ: х₁=-1,2, х₂=2.

Итак мы рассмотрели три способа решения линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля на одном уравнении.

III. Закрепление изученного материала.

Решить уравнение |5x-2|=x+6 тремя способами:

1 способ:

х₁=2 х₂=-2/3

Ответ: х₁=-2/3, х₂=2

2 способ: Заметим, что правая часть должна быть неотрицательна, т.е. х+6≥0. Следовательно, при возведении обеих частей уравнения в квадрат получим уравнение, равносильное исходному. Значит уравнение равносильно системе.

(5х-2)²-(х+6)²=0

(5х-2-х-6)(5х-2+х+6)=0

4х-8=0 х=2

6х+4=0 х=-2/3

Ответ: х₁=-2/3, х₂=2

3 способ:

|5x-2|=x+6

1. 5x-2=0

x=-2/5

2.

3.

Ответ: х₁=-2/3, х₂=2.

Решить уравнение любым способом:

|5x-2|=|x+10|

(|5x-2|)²=(|x+10|)²

(5x-2)²=(x+10)²

(5x-2)²-(x+10)²=0

(5x-2-x-10)(5x-2+x+10)=0

5x-2-x-10=0, x=3

Или

5х-2+х+10=0, х=-4/3

Ответ: х₁=-4/3, х₂=3.

Решить уравнение |4-x|-|x+1|=5

Решаем 3 способом.

1. х-4=0

х=4

х+1=0

х=-1

2.

3.

Ответ: х≤-1.

Решить уравнение |x+2|+|x+3|=x

3 способ

1. х+2=0, х=-2

х+3=0, х=-3

2.

3.

Ответ: Ø

Решить следующие уравнения любым способом:

Итог урока: Какие способы используются при решении линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Домашнее задание:

Решить уравнения:

1. |x|=4, x₁=-4, x₂=4

2. |4-x|=5, x₁=-1, x₂=9

3. 9-x=|3x+1|, x₁=-1, x₂=0

4. |2x-1|+|x+3|=8, x_1,2=1±, x_3,4=1±

5. |2x-3|=x, x₁=1, x₂=3

6. |x-7|=-2 корней нет

7