Творческая работа по теме "Антитеорема"

Место для уравнения.

СЕКЦИЯ

математики, информатики, физики

Творческая работа

На тему «Антитеорема»

1. Введение

Актуальность темы состоит в том, что прямые углы мы встречаем часто в повседневной жизни: в строительстве, архитектуре, на местности. Во многих задачах геометрии расчёты связаны с высотами, проведёнными из вершин прямых углов к противоположной стороне или грани. Целью данной исследовательской работы является вывод некоторых интересных формул геометрии и их практическое применение. Показаны соотношения между катетами прямоугольного треугольника и высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, а также между высотой, проведённой из вершины прямого трёхгранного угла пирамиды и ребрами, исходящими из него. Эти формулы позволяют достаточно быстро решать некоторые задачи из курса планиметрии и стереометрии. При выводе выше названных соотношений применяются известные из школьного курса формула нахождения площади треугольника, теорема Пифагора, формула Герона, а также формула нахождения объёма пирамиды.

2. Результаты исследования.

Задача № 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С (приложения, рис.1). Проведем из вершины прямого угла С высоту СН к гипотенузе АВ. Введём следующие обозначения: CH=h, BC=a, AC=b, AB=c. Докажем, что _{ } ,1-,h-2..=,1-,a-2..+,1-,b-2.. .

Доказательство.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S=_{ } , с другой стороны, S=_{ }. Таким образом, получим равенства _{ }, ab=ch, _{ }. _{ }. По теореме Пифагора _{ }. Таким образом, имеем _{ } или _{ }, что и требовалось доказать.

Равенство ,1-,h-2..=,1-,a-2..+,1-,b-2.. можно также представить в виде ,h-2.=,,b-2.,a-2.-,b-2.+,a-2... Следовательно, утверждение доказано.

Задача № 2

Дана пирамида, у которой рёбра a, b, и c попарно перпендикулярны (приложения, рис.2). Найдём высоту h, проведённую из вершины угла, заключённого между рёбрами a, b, c, к противоположной грани пирамиды. Пусть x, y, z – стороны этой грани, где x – гипотенуза треугольника с катетами a и b, y – гипотенуза треугольника с катетами a и c, z – гипотенуза треугольника с катетами b и с. Примем за высоту пирамиды ребро c, тогда основанием будет прямоугольный треугольник с катетами a и b. Объём такой пирамиды вычисляется по формуле V=,1-3.,S-осн. C=,1-6.abc. Если за основание мы примем грань с ребрами x,y,z, тогда тот же объём вычисляется следующим образом: V= _{ } , где _{ } – площадь грани с рёбрами x,y,z. Найдём площадь _{ } по формуле Герона (см. приложения), предварительно заметив, что ,x-2.=,a-2.+,b-2., ,y-2.=,a-2.+,c-2., ,z-2.=,b-2.+,c-2.. Тогда _{ } и легко увидеть, что выполняется равенство:

,S-2x.=(,x+y+z-2.,x+y-z-2.)(,x-y+z-2.,-x+y+z-2.). Преобразуем его:

 =,1-4.(,a-2.,b-2.+,a-2.,c-2.+,b-2.,c-2..) Таким образом, получаем

,h-2.=,,(3V)-2.-,S-2x..=,,(1/2abc)-2.-,1-4.(,a-2.,b-2.+,a-2.,c-2.+,b-2.,c-2.).. В итоге имеем _{ } (2).

Рассмотрим применение этих формул на некоторых примерах.

Задача № 3

Дан прямоугольный треугольник с катетами a=_{ }; b=_{ }. Необходимо найти высоту h, проведённую из вершины прямого угла к гипотенузе.

Решение.

Для нахождения высоты h используем формулу ,1-,h-2..=,1-,a-2..+,1-,b-2.. . В результате имеем _{ } .

В этом примере очевидно преимущество выше показанной формулы, так при работе с иррациональными числами расчёты становятся достаточно простыми.

Задача № 4

Дана пирамида DABC, в которой рёбра AC, BC, DC попарно перпендикулярны. Найдите высоту пирамиды, проведённую из вершины угла С к плоскости грани ABD, если известно, что AC=9 см, BC=12 см, DC= 8 см.

Решение.

Пусть BC=a, AC=b, DC=c. Для нахождения высоты h применим формулу (4).

В итоге имеем ,h-2.=,,12-2.,9-2.,8-2.-,12-2.,9-2.+,12-2.,8-2.+,9-2.,8-2..=_{ }, h=,-,1296-133...

Задача № 5

К окружности радиуса r, центр которой совпадает с началом прямоугольной системы координат, проведена касательная. Известно, что A(x;0) – точка пересечения касательной с осью абсцисс. Найдите координаты точки пересечения этой касательной с осью ординат.

Решение.

Пусть B(0;y) – точка пересечения данной касательной с осью ординат. Найдём y. Если рассмотреть прямоугольный треугольник OAB, то радиус окружности, проведённой к касательной, будет перпендикулярен ей, и, следовательно, будет являться высотой этого треугольника, проведённой к гипотенузе AB. Воспользуемся формулой (1). В данном случае h=r, a=x, b=y. Тогда (1) примет вид: _{   }. Преобразуя эту формулу, получим _{ } , откуда _{ } и y=_{ } , y=_{ } . Таким образом, точка B имеет координаты (0; _{ }).

Задача № 6

Шар неизвестного радиуса помещён в прямоугольную систему координат так, что его центр совпадает с началом координат O. К шару проведена касательная плоскость и известны координаты её точек пересечения с координатными осями: A(x;0;0) – точка пересечения с осью абсцисс, B(0;y;0) – с осью ординат, C(0;0;z) -–с осью аппликат. Найдём радиус шара. Обозначим радиус шара через R. Радиус шара перпендикулярен касательной плоскости, проведённой в точку касания. Мы получим треугольную пирамиду OABC, в которой данный радиус будет являться высотой, проведённой из вершины трёхгранного прямого угла, к противоположной грани ABC. Применим формулу (2) для нахождения радиуса шара. В этом случае h=R, a=x, b=y, c=z. В итоге получим

_{ } , R= _{ } .

Выводы.

Представленный в работе материал нетривиален и полезен для практического применения, поскольку знакомит с интересными формулами планиметрии и стереометрии, позволяющими достаточно просто и быстро находить некоторые важные элементы в прямоугольных треугольниках и пирамиды, избегая сложных вычислений. Одна из них даёт возможность находить высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, по его катетам. Другая выражает одну из высот прямоугольной пирамиды через рёбра, исходящие из одной вершины. На доступных примерах показано применение этих формул. Очевидно, что в случае, когда стороны выражены иррациональными числами, вычисления становятся гораздо проще при применении вы веденных формул. (задача № 3). А совместно с методом координат они позволяют находить неизвестные радиусы окружности и шара. Результаты данной исследовательской работы могут использоваться как справочный материал школьниками при решении геометрических задач. Естественно, что любая удобная для практического использования формула даёт хороший опыт работы с заданиями повышенного уровня сложности, и это немаловажно для успешного прохождения Единого государственного экзамена по математике.

Литература.

1. http://joselorlop.blogspot.com

Приложения

Рис. 1

Рис. 2

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

где p — полупериметр треугольника: {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}.

.