Тема: «Устное решение квадратных уравнений».

Тема: «Устное решение квадратных уравнений».

Цели занятия:

1. Выявить специфику решения отдельных квадратных уравнений, научить применять соответствующие методы к решению квадратных уравнений.

2. Развивать память, внимание, логику, математическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать.

3. Воспитывать трудолюбие, аккуратность, уважительное отношение друг к другу, честность, взаимопомощь, интерес к предмету.

Ход занятия.

I. Объяснение нового материала

Учитель: Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений; часто при решении одной задачи встречаются несколько таких уравнений, поэтому полезно знать способы устного решения квадратных уравнений, которые помогают экономить время. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики.

И тема нашего занятия «Устное решение квадратных уравнений»

I способ Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1. Перед вами лежит карточка с заданием. Вам необходимо выполнить это задание, заполнить таблицу и сделать вывод.

Вывод1: (Указание: рассмотреть результаты в столбцах 6 – 9 и вставить недостающие слова).

Если a +b +c = … , то один из корней квадратного уравнения ax + bx + c = 0 равен 1, а второй корень вычисляется по формуле ….. .

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Если а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1,

х₂ = .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x² + • x + = 0.

Согласно теореме Виета x₁ + x₂ = - ,

x₁x₂ = .

По условию а + b + с = 0, откуда b = - а - с. Таким образом,

x₁ + x₂ = - = 1+ ,

x₁x₂ = 1· .

т.е. х₁ = 1 и х₂ =, что и требовалось доказать.

Решите самостоятельно уравнения :

1) х+ 5х – 6 = 0; -6;1 3) 5х + 3х – 8 = 0; -1,6;1

2) 5х + 7х – 12 = 0; -2,4;1 4) 10 х+ 3х – 13 = 0. -1,3;1

2. Переходим к следующему заданию.

Вывод 2: (Указание: рассмотреть результаты в столбцах 6 – 9 и вставить недостающие слова).

Если a - b +c = … , то один из корней квадратного уравнения ax + bx + c = 0 равен - 1, а второй корень вычисляется по формуле ….. .

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Если а - b + с = 0 или b = a + c, то х₁ = - 1, х₂ = - .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x² + • x + = 0.

Согласно теореме Виета x₁ + x₂ = - ,

x₁x₂ = .

По условию а - b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x₁ + x₂ = - = - 1 - ,

x₁x₂ = - 1· ( - ).

т.е. х₁ = - 1 и х₂ = - , что и требовалось доказать.

Решите самостоятельно уравнения :

1) х+ 8х + 7 = 0; -7;-1 2) 3 х+ 20х + 17 = 0; -1;-5

3) 4 х+ 11х + 7 = 0; -1;-1,75 4) 6 х+ 5х – 1 = 0. -1;

II способ Решение уравнений с использованием теоремы, обратной теореме Виета.

На уроках алгебры мы с вами этот способ уже рассматривали. Давайте вспомним:

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа х и х таковы, что х+ х= - р, х х= q, то х и х корни данного квадратного уравнения х+ рх + q= 0.

Примеры: 1) х- 2х – 15 = 0; -3;5 3) х+ 10х – 24 = 0; -12;2

2) х + 8х – 20 = 0; -10;2 4) х- 4х – 77 = 0. -7;11

III способ Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

Окончательно получаем х₁ = и х₂ =. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример 1.

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у² – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме, обратной теореме Виета у= 5 и у= 6.

Следовательно х= и х=

х= 2,5 и х= 3

Ответ: х= 2,5 и х= 3

Примеры:

1) 4х + 9х + 2 = 0; -0,25;-2 2) 3х + 5х – 2 = 0; -2;

3) 5х+ 12х + 4 = 0; -2;-0,4 4) 6х+ х – 2 = 0. 0,5;-

II. Закрепление.

Устно решите уравнения, найдите верный ответ и соответствующую ему букву и прочитайте название способа, который мы будем рассматривать на следующем занятии факультатива.

Ответ: номограмма.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение,2010).

III. Итог.

На уроке мы рассмотрели различные способы устного решения квадратных уравнений. После небольшой тренировки эти способы позволят быстро решать уравнения. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится алгебра.