Теоретический материал по разделу "Логика"

Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания операций над переменными величинами, которые принято обозначать строчными буквами латинского алфавита – а, b, с, d и т.д. Операции над переменными величинами записываются в виде математических выражений.

Логика (др.-греч. Λογική) — «наука о правильном мышлении», «способность к рассуждению».

Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять операции над высказываниями.

Алгебру логики называют также алгеброй Буля, или булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения.

В булевой алгебре высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, С, D.

В алгебре Буля введены три основные логические операции с высказываниями: сложение, умножение, отрицание. Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций.

Операции, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями.

По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

Не (логическое отрицание, инверсия);

Или (логическое сложение, дизъюнкция);

И (логическое умножение, конъюнкция).

Логическое отрицание является одноместной (унарной) операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные (бинарные) операции, в них участвует два высказывания.

Существуют и другие операции, например, операции следования и эквивалентности, правила работы которых можно вывести на основании основных операций.

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений.

Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний.

Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении, например:

- таблица истинности одноместной логической операции состоит из двух строк: два различных значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два соответствующих им значения функции;

- в таблице истинности двуместной логической операции — четыре строки: 4 

- если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2^N строк, так как существует 2^N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Весь материал - в документе.

Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания операций над переменными величинами, которые принято обозначать строчными буквами латинского алфавита – а, b, с, d и т.д. Операции над переменными величинами записываются в виде математических выражений.

Ло́гика (др.-греч. Λογική) — «наука о правильном мышлении», «способность к рассуждению».

Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять операции над высказываниями.

Алгебру логики называют также алгеброй Буля, или булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения. В булевой алгебре высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, С, D.

В алгебре Буля введены три основные логические операции с высказываниями: сложение, умножение, отрицание. Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций. Операции, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

• НЕ (логическое отрицание, инверсия);

• ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);

• И (логическое умножение, конъюнкция).

Логическое отрицание является одноместной (унарной) операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные (бинарные) операции, в них участвует два высказывания. Существуют и другие операции, например, операции следования и эквивалентности, правила работы которых можно вывести на основании основных операций.

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений.

Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении, например: 

таблица истинности одноместной логической операции состоит из двух строк: два различных значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два соответствующих им значения функции;

в таблице истинности двуместной логической операции — четыре строки: 4

если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2^N строк, так как существует 2^N различных комбинаций возможных значений аргументов.