Теорема синусов (методический материал)

Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника - противолежащие им углы.

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

Обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

a/sinα=b/sinβ=c/sinγ.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2*R

где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R.

Допустим, это будет 2R = a/sin α, т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

Весь материал - в документе.

  Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника - противолежащие им углы.

         Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

Обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или − в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем:

a=2R sin

Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:

Теорема синусов доказана.