Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a. График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

Из чертежа видно, что:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x_1,2 = д 2).

Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.

Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.

Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

Ответ:

если a < 0, то корней нет;

если a = 0, a > 2, то два корня;

если a = 2, то три корня;

если 0 < a < 2, то четыре корня.

Задачи для самостоятельного решения

6. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a?

1) | | x | – 3 | = a;

2) | x + 1 | + | x + 2 | = a;

3) | x² – 4| x | + 3 | = a;

4) | x² – 6| x | + 5 | = a.

Ответы:

1) если a<0, то корней нет; если a=0, a>3, то два корня; если a=3, то три корня; если 0<a<3, то четыре корня;

2) если a<1, то корней нет; если a=1, то бесконечное множество решений из отрезка [– 2; – 1]; если a > 1, то два решения;

3) если a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a=1, то шесть корней; если a=3, то три решения; если a>3, то два решения;

4) если a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a=4, то шесть корней; если a=5, то три корня; если a>5, то два корня.

Весь материал - смотрите документ.