Статья для учителей математики "Обучение младших школьников решению комбинаторных задач"

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. Одним из первых занялся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера.

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

Задачи комбинаторного характера по - прежнему для начальной школы классифицируются, как задачи повышенной трудности. Они не связываются с усвоением основных вопросов курса и не согласовываются с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.

В 90–х гг. начинают разрабатываться альтернативные учебники математики для начальных классов, включающие в свой курс изучение комбинаторных задач. Например, учебники по математике Л. Г. Петерсон (программа «Школа 2000…»), авторского коллектива Т. Е. Демидовой, С. А. Козловой и А. П. Тонких (УМК «Школа 2100») содержат соответствующий материал как органическую часть курса математики. К Учебникам Н. Б. Истоминой разработаны тетради на печатной основе «Учимся решать комбинаторные задачи» для учеников 1 – 5 классов.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные. Одним из направлений модернизации математического образования на современном этапе является включение комбинаторики в программу школьного курса математики.

Комбинаторные задачи можно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, а включение комбинаторных задач в процесс усвоения программного содержания способствует повышению качества знаний учащихся и формированию у них умения решать комбинаторные задачи неформальными методами (без использования специальных формул).

В начальной школе используются следующие методы решения комбинаторных задач:

• метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления);
• табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение);
• построение дерева возможных вариантов решений;
• построение граф – схемы.

Методы решения комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному. В 1–2 классе решаются задачи с помощью перебора и таблиц, а в 3–4 с помощью построения дерева вариантов и графов, тем самым создается возможность в основной и средней школе при изучении некоторых аспектов теории вероятности использовать знакомые понятия и способы решения.

Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный выбор. В тоже время применение изучаемых знаний и умений при решении комбинаторных задач позволяет совершенствовать программный материал в процессе его использования в новых условиях.

Нами проведена экспериментальная работа, целью которой являлся поиск возможных методических путей включения комбинаторных задач в процесс усвоения младшими школьниками программного содержания курса математики четырехлетней начальной школы. Эксперимент проводился в 4 классе. Учащиеся обучаются по учебникам М. И. Моро, М. А. Бантовой и др. «Математика». Данный курс специальное изучение комбинаторных задач не предусматривает. Авторы не выделяют отдельные задания для показа определенного метода решения таких задач, хотя и встречаются задания, которые похожи на комбинаторные. Однако они даны в небольшом количестве, как средство развития мышления, главным образом, включены не в основной программный материал для обязательного изучения, а - как дополнительный к уроку, в разделе «Задания на смекалку».

Было решено опытную работу начать с обучающего этапа. С этой целью были разработаны и реализованы внеурочные занятия. На этих занятиях с учащимися 4 - го класса изучался каждый метод решения комбинаторных задач, который доступен младшим школьникам. Поскольку в учебниках соответствующих заданий нет, то весь изучаемый материал сопровождался пояснениями с помощью презентаций - слайдов, демонстрируемых на экран. Также каждому ученику для работы в классе и дома давались задания на индивидуальных листах, из которых постепенно были составлены тетради на печатной основе, «Комбинаторные задачи»

Таким образом, изучение комбинаторных задач позволяет обогатить знания детей о видах задач и методах их решения на основе различных моделей: табличного, граф – схемы, дерева возможных вариантов. Включение таких задач в учебный процесс необходимо для лучшего усвоения программных знаний и умений, которые применяются в новых условиях при решении комбинаторных задач, а также учит младших школьников анализу жизненных ситуаций, их «математизации», построению моделей при поиске способа их решения.

Учитель начальных классов

Мельникова Ольга Александровна

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение Гимназия №3 муниципального района Мелеузовский район РБ

ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. Одним из первых занялся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера.

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

Задачи комбинаторного характера по-прежнему для начальной школы классифицируются, как задачи повышенной трудности. Они не связываются с усвоением основных вопросов курса и не согласовываются с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.

В 90–х гг. начинают разрабатываться альтернативные учебники математики для начальных классов, включающие в свой курс изучение комбинаторных задач. Например, учебники по математике Л.Г. Петерсон (программа «Школа 2000…»), авторского коллектива Т.Е. Демидовой, С.А.Козловой и А.П. Тонких (УМК «Школа 2100») содержат соответствующий материал как органическую часть курса математики. К Учебникам Н.Б. Истоминой разработаны тетради на печатной основе «Учимся решать комбинаторные задачи» для учеников 1 – 5 классов.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные. Одним из направлений модернизации математического образования на современном этапе является включение комбинаторики в программу школьного курса математики.

Комбинаторные задачи можно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, а включение комбинаторных задач в процесс усвоения программного содержания способствует повышению качества знаний учащихся и формированию у них умения решать комбинаторные задачи неформальными методами (без использования специальных формул). В начальной школе используются следующие методы решения комбинаторных задач:

• метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления);

• табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение);

• построение дерева возможных вариантов решений;

• построение граф – схемы.

Методы решения комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному. В 1–2 классе решаются задачи с помощью перебора и таблиц, а в 3–4 с помощью построения дерева вариантов и графов, тем самым создается возможность в основной и средней школе при изучении некоторых аспектов теории вероятности использовать знакомые понятия и способы решения.

Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный выбор. В тоже время применение изучаемых знаний и умений при решении комбинаторных задач позволяет совершенствовать программный материал в процессе его использования в новых условиях.

Нами проведена экспериментальная работа, целью которой являлся поиск возможных методических путей включения комбинаторных задач в процесс усвоения младшими школьниками программного содержания курса математики четырехлетней начальной школы. Эксперимент проводился в 4 классе. Учащиеся обучаются по учебникам М.И. Моро, М.А. Бантовой и др. «Математика». Данный курс специальное изучение комбинаторных задач не предусматривает. Авторы не выделяют отдельные задания для показа определенного метода решения таких задач, хотя и встречаются задания, которые похожи на комбинаторные. Однако они даны в небольшом количестве, как средство развития мышления, главным образом, включены не в основной программный материал для обязательного изучения, а - как дополнительный к уроку, в разделе «Задания на смекалку».

Было решено опытную работу начать с обучающего этапа. С этой целью были разработаны и реализованы внеурочные занятия. На этих занятиях с учащимися 4-го класса изучался каждый метод решения комбинаторных задач, который доступен младшим школьникам. Поскольку в учебниках соответствующих заданий нет, то весь изучаемый материал сопровождался пояснениями с помощью презентаций - слайдов, демонстрируемых на экран. Также каждому ученику для работы в классе и дома давались задания на индивидуальных листах, из которых постепенно были составлены тетради на печатной основе, «Комбинаторные задачи»

Таким образом, изучение комбинаторных задач позволяет обогатить знания детей о видах задач и методах их решения на основе различных моделей: табличного, граф – схемы, дерева возможных вариантов. Включение таких задач в учебный процесс необходимо для лучшего усвоения программных знаний и умений, которые применяются в новых условиях при решении комбинаторных задач, а также учит младших школьников анализу жизненных ситуаций, их «математизации», построению моделей при поиске способа их решения.