Sonli ketma ketlikning limiti

Sonli ketma-ketlik va uning limiti

Agar har bir natural songa biror qonun-qoida asosida ma’lum bir haqiqiy son mos qo’yilgan bo’lsa, unda , , ,…, ,… sonli ketma-ketlik deb ataladi. Bunda sonli ketma-ketlikning hadlari, esa umumiy hadi deyiladi.

Masalan,

1) umumiy hadi

2) umumiy hadi

3)

4) umumiy hadi .

, , ,…, ,… sonli ketma-ketlik qisqacha kabi belgilanadi.

Sonli ketma-ketlik bir necha usullarda berilishi mumkin.

1. Ketma-ketlik umumiy hadi formulasi bilan berilishi mumkin. Bunda hadining qiymatini shu hadning tartib nomeri bilan bog’lovchi formula beriladi. Umumiy had formulasi yordamida istalgan hadni topish mumkin. Bunga misol sifatida ni olish mumkin.

2. Ketma-ketlik o’z hadining tartib nomeri bilan shu hadning qiymati orasidagi moslikni sonlar orqali ifodalash yordamida berilishi mumkin. Masalan, har bir toq natural songa 3 ni, har bir juft natural songa esa 5 ni mos keltiramiz: Natijada ketma-ketlikka ega bo’lamiz. Uning umumiy hadini ko’rinishda yozish mumkin.

3. Ketma-ketlik rekurrent formula yordamida berilishi mumkin. Agar ketma-ketlikning dastlabki bitta yoki bir nechta hadlari berilgan bo’lib, keyingi hadlarni shu berilgan hadlar yordamida topish imkonini beruvchi formula (rekurrent formula) ko’rsatilgan bo’lsa, ketma-ketlik rekurrent usulda berilgan deyiladi. Masalan, bo’lsa, ketma-ketlikning hadlarini topishimiz mumkin.

4. Ketma-ketlik jadval yoki grafik usulda ham berilishi mumkin.

5. Sonlar ketma-ketligi so’z ifodasi bilan ham beriladi. Ketma-ketlik bu usulda berilganda, istalgan nomerga mos kelgan hadni topish qoidasi so’z bilan ifodlangan bo’ladi. Masalan, ning 0.1; 0.01; 0.001 va hokazo aniqlikda kami bilan olingan taqribiy qiymatlaridan tuzilgan ketma-ketlik 1.4; 1.41; 1. 414; …dan iborat.

Agar shunday soni mavjud bo’lsaki, ketma-ketlikning barcha hadlari uchun shart bajarilsa, unda bu ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.

Ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik deb ataladi.

Ixtiyoriy soni uchun ketma-ketlikning kamida bitta hadi tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlik chegaralanmagan deyiladi.

Hamma hadlari bir xil songa teng bo’lgan ketma-ketlik o’zgarmas ketma-ketlik deyiladi.

Agar ketma-ketlik berilgan bo’lib, ixtiyoriy soni uchun unga bog’liq shunday son topilsaki, shartni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar va biror chekli haqiqiy son uchun tengsizlik bajarilsa, bu son ketma-ketlikning chekli limiti deyiladi. soni ketma-ketlikning chekli limiti ekanligi

yoki kabi yoziladi.

Ixtiyoriy soni uchun bu songa bog’liq shunday soni topilsaki, ketma-ketlik tartib raqami shartni qanoatlantiruvchi barcha hadlar uchun tengsizlik bajarilsa, unda bu ketma-ketlik cheksiz limitga ega deyiladi.

ketma-ketlikning limiti cheksiz ekanligi yoki kabi ifodalanadi.

Agar ketma-ketlik chekli limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

Agar ixtiyoriy uchun ( ) tengsizlik o’rinli bo’lsa, unda ketma-ketlik monoton o’suvchi (kamayuvchi) deyiladi.

Agar va ketma-ketlikning ikkalasi ham yaqinlashuvchi va , bo’lsa, unda quyidagi tengliklar o’rinli bo’ladi:

;

;

;

,

.

Agar va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, da bo’lsa, u holda

( )

Agar , ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va

bo’lib da bo’lsa u holda ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi va bo’ladi.

Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib,

bo’lsa, u holda bo’ladi va aksincha. Bu yerda cheksiz kichik miqdor.

Sonli ketma-ketliklarining limitilarini hisoblashda ajoyib limit deb ataladigan quyidagi limitlardan ham foydalanish mumkin.

Bu yerda ga teng irratsional son bo’lib, u logarifmning asosi bo’lganda, u natural logarifm deyiladi va ln kabi yoziladi.

Agar ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda cheksiz kichik (ketma-ketlik) miqdor deyiladi.

Agar ketma-ketlikning limiti cheksiz, ya’ni bo’lsa, u holda cheksiz katta (ketma-ketlik) miqdor deyiladi.

Agar ketma-ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralangan bo’lsa,u holda u yaqinlashuvchi bo’ladi.

Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo’lib,quyidan chegaralangan bo’lsa,u holda u yaqinlashuvchi bo’ladi.

Agar son olinganda han shunday topilsaki, barcha nn₀ va barcha mn₀ lar uchun

tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik deyiladi.

Agar ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik bo’lsa u yaqinlashuvchi bo’ladi.

(a_n±b_n),(a_n··b_n) va ( ) ko’rinishdagi ketma-ketliklarning limitlarini topishda 0· ko’rinishdagi ifodalar hosil bo’lib qolishi mumkin.Bu ifodalar aniqmas ifodalar deb ataladi.

Bunday hollarda va ketma-ketliklarning o’zgarish qonunlarini e’tiborga olib, bizni qiziqtiruvchi ifodani bevosita tekshirishga to’g’ri keladi. Bunday tekshirish aniqmasliklarni ochish deyiladi.

Ko’pincha, limiti izlanayotgan ifodada ayniy almashtirishlar bajarish aniqmasliklarni ochishni osonlashtiradi.

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. Umumiy hadi bo’lgan sonli ketma-ketlikning dastlabki 5 ta hadi yozilsin.

Yechish: Umumiy haddagi n o’rniga ketma-ket 1,2,3,4,5 sonlarini qo’yamiz:

= = ; = = ;

= = ; = ;

= .

Demak, ning dastlabki 5 ta hadlari 1, 0, , 0, lardan iborat.

2. Dastlabki bir nechta hadlari bilan berilgan , ketma-ketlikning umumiy hadi yozilsin:

Yechish: Berilgan ketma-ketlikning har bir hadini surati shu hadning nomerini bildiruvchi raqamning kvadrati bilan 1 soni yig’indisidan iborat ekanligini ko’ramiz. Ya’ni u n²+1 ga teng. Ketma-ketlik hadlarining maxrajlari ayirmasi 5 ga va birinchi hadi 3 ga teng bo’lgan arifmetik progressiya hadlaridan iborat. Ya’ni:

Demak, = .

3. Ketma-ketlikning ta’rifidan foydalanib,

bo’lishini isbotlang.

Yechish: son uchun shunday N( ning mavjudligini ko’rsatishimiz kerakki, har qanday nN( uchun tengsizlik bajarilishi kerak. Buning uchun ni aniqlashimiz kerak.

= = = .

Bundan esa tengsizlik kelib chiqadi. Undan n ni yoki N=E( ) ni aniqlaymiz. Shunday qilib, ixtiyoriy son uchun shunday N topiladiki nN tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa = 1 ekanligini bildiradi.

4. x₁=1, x₂=2, bo’lib n2 bo’lganda x_n=x_n-1 – x_n-2 bo’ladi.Bu ketma-ketlikning dastlabki bir nechta hadlari yozilsin.

Yechish: x₃=x₂ – x₁=2-1=1; x₄=x₃ – x₂=1-2=-1; x₅=x₄ – x₃ =-1-1=-2;

x₆=x₅ – x₄=-2-(-1)=-2+1=-1; x₇=x₆ – x₅=-1-(-2)=-1+2=1 va hokazo.

Demak, izlanayotgan ketma-ketlik

1; 2; 1; -1; -2; -1; 1; ….

dan iborat.

5. -1, , - …, ,… ketma-ketlikning chegaralangan ekanligi isbotlansin.

Isbot: = = 1

Demak, ketma-ketlik chegaralangan.

6. Umumiy hadi a_n bo’lgan sonlar ketma-ketligi kamayuvchi ketma-ketlik ekanligi isbotlansin.

Isbot: a_n= ,n=1, 2, 3, …,y holda a_n+1= bo’lib, a_n+1-a_{n n+1}-a_n 0 va ixtiyoriy nomer uchun x_{n+1 n} bo’ladi.

Bu esa berilgan ketma-ketlikning kamayuvchi ekanligini bildiradi.

Yechish: Agar biz bu yerda limitlar haqidagi teoremalarni qo’llasak, va = bo’lib berilgan ifoda ko’rinishdagi aniqmaslikdan iborat bo’ladi. Shuning uchun berilgan ifodada ayniy almashtirish bajaramiz. Natijada

= = = = hosil bo’ladi. Unga ko’paytma, bo’linma va yig’indining limiti haqidagi teoremalarni qo’llab quyidagiga ega bo’lamiz:

.

8. - ) hisoblansin.

Yechish: = va = bo’lgani uchun berilgan ifoda shakldagi aniqmaslikdir. Bu ifodada ayniy almashtirishlar qilamiz. Buning uchun berilgan ifodani unga qo’shma ifodaga ko’paytiramiz va bo’lamiz:

- = = =

+ )= bo’lgani uchun

- )=

9. - ) ni hisoblang.

Yechish: Yuqoridagi misolda - )=0 ekanligini topdik. bo’lgani uchun berilgan ifoda 0 ko’rinishdagi aniqmaslikdir. Uni ochish uchun ayniy almashtirish qilamiz.

- )= = = ;

- ) = = =1.

10. ni hisoblang.

Yechish: Agar limitlar haqidagi teoremalarni qo’llasak yana aniqmaslikka duch kelamiz. Shuning uchun bu yerda ham ayniy almashtirishlar qilamiz. Ya’ni kasrning surat va maxrajidan n³ ni qavsdan tashqariga chiqaramiz.

= .

11. ni hisoblang.

Yechish: Berilgan limitni hisoblash uchun almashtirish qilamiz. Bunda va bo’ladi. Demak,

.

12. ni hisoblang.

Yechish: 

.

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:

1. Umumiy hadi quyidagi formulalar bilan berilgan ketma-ketliklarning dastlabki bir nechta hadlari yozilsin.

; 2) ; 3) .

Javob: 1) , , 0, , … 2) , , , , …

3) 2; 2,25; ; ;

2. Quyidagi ketma-ketliklarning dastlabki beshta hadini yozing.

1) ; 2) ; 3) ;

Javob: 1) 1, 2, 4, 6, 8, 16; 2) ; 3) 0, 1, 0, 1, 0.

3. ketma-ketlikning hadlari topilsin.

Javob: ;

.

4. Quyidagi ketma-ketliklarning qaysilari monoton bo’ladi?

1) .

Javob: 1) o’suvchi; 2) kamayuvchi; 3) kamayuvchi; 4) o’zgarmas ketma-ketlik.

5. Quyidagi ketma-ketliklarni chegaralangan ekanligi isbotlansin.

1) -1, ,

2)

3) 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; …

6. Quyidagi ketma-ketliklar qaysi tomondan chegaralangan?

1)

Javob: 1) (quyidan chegaralangan); 2) (chegaralangan); 3) (quyidan chegaralangan); 4) (quyidan chegaralangan).

7. Umumiy hadi

ko’rinishda berilgan ketma-ketlikning limiti 0 ga tengligini isbotlang.

8. 0.3; 0.33; 0.333; … 0.33…3; … ketma-ketlikning limiti ga tengligi isbotlansin.

9. Quyidagi ketma-ketliklarning limiti topilsin.

1) 2)

3) 0;1; ;  X

Javob: 1) 0; 2) 0; 3) .

10. Quyida berilgan limitlar hisoblansin.

1) ; 2) ;

3) 4)

Javob: 1) ; 2) 0; 3) 2; 4) 0.

11. Quyidagi ketma-ketliklar limitga egami? Agar limitga ega bo’lsa, ularni toping.

1) , , , ,..., ,..

2) , , , ,..., ,..

Javob: 1) 1; 2) 2.

12. ketma-ketlik limitga ega ekanligi isbotlansin va u limit topilsin.

Javob: 0.

13. Quyidagi limitlar topilsin.

1)  ; 2) ; 3)  ;

4) ; 5) ; 6)

Javob: 1) 6; 2) ; 3)0; 4) ; 5) ; 6) 4.

14. Quyidagi limitlar hisoblansin.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Javob: 1) 2) ⁴; 3) ^6; 4) ; 5) ^-1; 6) ^-2