Системы счисления в заданиях ОГЭ

Системы счисления в заданиях ОГЭ

Автор: Александрова З.В., учитель физики и информатики,

МБОУ СОШ №5 пгт Печенга, Мурманская область

Позиционные системы счисления

• Что понимают под позиционными СС?
• Что понимают под позиционными СС?

СС, в которых «вес» (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в изображении числа

2. Что понимают под p - основанием позиционной СС?

p – количество знаков, используемых для представления чисел, а также «вес» разряда

3. Что представляет развернутая форма представления чисел в позиционных СС?

A p =a n p n + a n-1 p n-1 + . . . + a 2 p 2 + a 1 p 1 + a 0 p 0

A p – само число в СС с основанием p

a i – значащие цифры числа

n – число разрядов числа

Позиционные системы счисления

Свернутая форма представления целых чисел в позиционных СС

A=a n a n-1 . . . a 2 a 1 a 0

где a n , a n-1 , . . . a 2 , a 1 , a 0 - значащие цифры числа

К акой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни?

Задания на запись чисел в различных формах представления

• Представить число А = 317 в развернутой форме записи

2 1 0

А = 3 · 10 2 + 1 · 10 1 + 7 · 10 0

А = 317

2. Представить число А 9 = 7 · 9 5 + 3 · 9 4 + 6 · 9 2 + 9 1 + 2 в свернутой форме записи

А 9 = 73612 9

Переводы чисел из десятичной СС в СС с основанием р

Правило перевода методом последовательного деления:

• необходимо последовательно делить данное число и получаемые частные на новое основание р до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя;
• составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка в обратном порядке.

10  2

2

19

19 = 10011 2

18

2

9

8

2

1

4

4

1

2

2

система счисления

2

0

1

0

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Задания на переводы чисел из десятичной СС

• Перевести число 23 в двоичную систему СС двумя способами

а) методом подбора (разложить число на степени основания 2)

23 = 22 + 1

= 16 + 6 + 1

= 16 + 4 + 2 + 1

= 2 4 + 2 2 + 2 1 + 2 0

б) с помощью алгоритма делением

23 = 10111 2

2. Не выполняя вычислений, определить, сколько значащих 1 будет в двоичном представлении числа 65?

; 111 2 111 8

3. Сравните числа:

5 10 и 5 8

и

Переводы чисел из позиционной СС с основанием р в десятичную систему счисления

Правило перевода:

• представить число в развернутой форме; вычислить сумму ряда.
• представить число в развернутой форме;
• вычислить сумму ряда.

Полученный результат является значением числа в 10-ой СС.

Пример: число 3201 5 перевести в 10-ую СС

3201 5 =

3 2 1 0

3 · 5 3 + 2 · 5 2 + 0 · 5 1 + 1 · 5 0 =

3 · 125 + 2 · 25 + 1

= 426

3201 5 = 426

Задания на переводы чисел в десятичную СС

• Число 101011 2 перевести в 10-ую СС

101011 2 = 43

2. Вычислить сумму чисел 1021 3 + 210 5 , ответ представить в десятичной СС

Ответ: 89

3. Найти наименьшее из чисел

Ответ: В

В = 11 15

С = 10101 2

D = 121 9

А = 1021 3

34

16

21

100

10. а) метод подбора: 68 = 53р Проверяем числа ≥11. Находим: р = 13 б) с помощью вычислений: Переводим 53р в десятичную СС и находим р : 53 р = 5 · р + 3 5р + 3 = 68 р = 13 " width="640"

Задачи на различные переводы чисел

1. Было 53 р груши. После того, как каждую разрезали пополам, стало 136 половинок. В СС с каким основанием вели счет?

Т.к. ответ дан в десятичной СС, определяем, сколько было целых груш?

136 : 2 = 68

т.к. количество груш в СС с основанием р меньше, чем их число в десятичной СС, значит р 10.

а) метод подбора:

68 = 53р

Проверяем числа ≥11. Находим: р = 13

б) с помощью вычислений:

Переводим 53р в десятичную СС и находим р :

53 р = 5 · р + 3 5р + 3 = 68 р = 13

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Количество цифр (основание системы):  8

Входящие цифры (алфавит):  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Перевод чисел из 10-й сист. сч-я в 8-ую

Перевод чисел из восьмеричной сист. сч-я в десятичную

Перевод чисел из 8-й сист. сч-я в 2-ую и обратно триадами

Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Количество цифр (основание системы): 16

Входящие цифры (алфавит): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13),

E (14), F (15)

Перевод из десятичной сист. сч-я в шестнадцатеричную

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную

Перевод чисел из двоичной сист. сч-я в шестнадцатеричную и обратно тетрадами

Перевод из двоичной с. сч-я в шестнадцатеричную и обратно тетрадами

Перевод из двоичной системы

1001011101111 2

1 . Разбить на триады, начиная справа:

00 1 001 011 101 111 2

2 . Каждую триаду записать одной восьмеричной

цифрой:

00 1 001 011 101 111 2

3

5

1

1

7

Ответ: 1001011101111 2 = 11357 8

Десятичная система

Двоичная система

1

1

2

Восьмеричная система

10

3

Шестнадцатеричная система

1

11

4

1

2

2

100

5

3

6

101

3

4

7

110

5

4

111

5

6

8

6

9

7

1000

10

1001

7

10

1010

11

8

11

1011

12

9

12

1100

13

A

13

14

1101

B

14

C

15

1110

15

16

1111

D

16

10000

17

E

17

10001

F

20

18

10

21

10010

11

22

12

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16

2-чная (триады)

8-чная

000

0

001

2-чная (тетрады)

1

010

2

16-чная

0000

011

100

3

0

0001

4

101

1

0010

5

0011

2

110

111

6

0100

3

0101

4

7

5

0110

6

0111

7

1000

1001

8

1010

9

A

1011

B

1100

1101

C

D

1110

E

1111

F

Задачи на различные переводы чисел

1. Космонавты встретили инопланетянина, который свободно разговаривал на земном языке. Выяснилось, что у гостя 13 сыновей и 23 дочери, а всего детей – 102 . Найдите, какой системой счисления пользовался гость?

13 р + 23 р = 102 р р + 3 + 2 ·р + 3 = р 2 + 2

3р + 6 = р 2 + 2 р 2 – 3р – 4 = 0

(р – 4)(р + 1) = 0 р 1 = -1 – не имеет смысла р 2 = 4

2. В каких системах счисления перевод числа 37 оканчивается на 7 ?

37 = 30 + 7

30 кратно 3, 5, 6, 10, 15, 30

Т.к. остаток 7 , значит основания 3, 5, 6 – не подходят. 10 – исходная СС. Остается: 15-ричная, 30-ричная СС

А1. Вычислите значение суммы в десятичной С.С:

10 2 + 10 4 + 10 6 + 10 8 .

Ответ: 20

А2 . Двоичным эквивалентом числа 60 является:

Ответ: 111100

А3 . Сколько единиц содержит двоичная запись числа 25?

Ответ: 3

А4. В системе с некоторым основанием число 17

записывается как 101. Укажите это основание.

Ответ: 4

В1. В коробке 31 шар. Из них 12 красных и 17 желтых.

В какой системе счисления такое возможно?

Ответ: 8 C.С.

В2. Даны 3 числа. Поставьте их в порядке убывания.

А = 203 4 В = 10101 2 С = 135 6 Ответ: САВ

Источники:

http://www.fipi.ru/

http://labs-org.ru/oge-13

https://d2v9y0dukr6mq2.cloudfront.net/video/thumbnail/kzUwNO1/hd-animation-of-a-solid-wall-of-binary-code_nyky78nj__F0000.png /

https://www.kpolyakov.spb.ru/school/oge.htm