Меню
Разработки
Разработки  /  Алгебра  /  Презентации  /  9 класс  /  Решение задач на смеси, сплавы и растворы

Решение задач на смеси, сплавы и растворы

Представлены различные способы решения задач на смеси, сплавы и растворы
04.06.2020

Содержимое разработки

МОУ «Средняя школа №43»  г. Петрозаводск Решение задач на смеси,  сплавы и растворы Рулева Т.Г.

МОУ «Средняя школа №43» г. Петрозаводск

Решение задач на смеси, сплавы и растворы

Рулева Т.Г.

Закон сохранения объема  и массы  Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты. Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V 1 + V 2 и m = m 1 + m 2 – сохраняется объем и масса. Примеры: 1.Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди. 2.Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4. Рулева Т.Г.

Закон сохранения объема и массы

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты.

Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V 1 + V 2 и m = m 1 + m 2 – сохраняется объем и масса.

Примеры:

1.Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди.

2.Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4.

Рулева Т.Г.

Немного теории Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.)  Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси. Относительное содержание вещества в смеси называют процентным содержанием или концентрацией. Рулева Т.Г.

Немного теории

  • Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.)
  • Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси.
  • Относительное содержание вещества в смеси называют процентным содержанием или концентрацией.

Рулева Т.Г.

ЗАДАЧА №1 900 г 100 % 100 % 300 г 270 г 30 % 270 г 90 % 300*90:100 300*90:100 300+900 Смешивают 300г 90%-го раствора соли и 900г 30%-го раствора той же соли. Определите процентное содержание соли в полученном растворе. 1200 г 100%  Ответ: 45% 540 г 45% 270+270 540*100:1200 Рулева Т.Г.

ЗАДАЧА №1

900 г

100 %

100 %

300 г

270 г

30 %

270 г

90 %

300*90:100

300*90:100

300+900

Смешивают 300г 90%-го

раствора соли и 900г 30%-го

раствора той же соли.

Определите процентное содержание

соли в полученном растворе.

1200 г

100%

Ответ: 45%

540 г

45%

270+270

540*100:1200

Рулева Т.Г.

ЗАДАЧА №2  М С М С Cu Cu Zn Zn 65% 15% х 200 - х 65% =0,65 15% =0,15 30% Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? 200 0,15х+0,65(200-х) = 0,3*200 0,15х - 0,65х = -130 + 60 - 0,5х = -70 х = 140 200 - 140 = 60 Ответ: 140г первого и 60г второго Рулева Т.Г.

ЗАДАЧА №2

М С

М С

Cu

Cu

Zn

Zn

65%

15%

х

200 - х

65% =0,65

15% =0,15

30%

Имеются два сплава меди со

свинцом. Один сплав содержит

15% меди, а другой 65%.

Сколько нужно взять каждого

сплава, чтобы получилось 200г

сплава, содержащего 30% меди?

200

0,15х+0,65(200-х) = 0,3*200

0,15х - 0,65х = -130 + 60

- 0,5х = -70

х = 140

200 - 140 = 60

Ответ: 140г первого и 60г второго

Рулева Т.Г.

ЗАДАЧА №3 Песок Цемент Чтобы залить фундамент требуется бетон. Для его приготовления нужен цемент, песок, щебень и вода. Вода составляет 75% от количества цемента, песка нужно взять в 2 раза больше, а щебня в 4 раза больше цемента. Сколько можно получить бетона из 12 ведер цемента? Щебень Ответ: 93 ведра бетона Рулева Т.Г.

ЗАДАЧА №3

Песок

Цемент

Чтобы залить фундамент требуется

бетон. Для его приготовления нужен

цемент, песок, щебень и вода. Вода

составляет 75% от количества цемента,

песка нужно взять в 2 раза больше, а

щебня в 4 раза больше цемента.

Сколько можно получить бетона из

12 ведер цемента?

Щебень

Ответ:

93 ведра бетона

Рулева Т.Г.

Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько г каждого раствора надо было взять? Решение 1. Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x). Составим уравнение:  30x + 10* (600 - x) = 600 *15 x = 150  Решение 2: с использованием графика.  Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников:  15x = 5 (600- x)  x =150  Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора n (%) 30 S 1 S 1 = S 2 15 S 2  10 x 0 600 m(г) Рулева Т.Г.

Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько г каждого раствора надо было взять?

  • Решение 1. Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x). Составим уравнение:

30x + 10* (600 - x) = 600 *15 x = 150

  • Решение 2: с использованием графика.

Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников:

15x = 5 (600- x)

x =150

Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора

n (%)

30

S 1

S 1 = S 2

15

S 2

10

x

0

600

m(г)

Рулева Т.Г.

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять лома каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля? С использованием графика: (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)  10*х = 25*(140 – х)  х = 100  140 – 100 = 40  Ответ: 100 т и 40 т  n(%) S 1 = S 2 40 S 1 30 S 2  5  m(г) 0 x 140 Рулева Т.Г.

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять лома каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля?

  • С использованием графика: (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)

10*х = 25*(140 – х)

х = 100

140 – 100 = 40

Ответ: 100 т и 40 т

n(%)

S 1 = S 2

40

S 1

30

S 2

5

m(г)

0

x

140

Рулева Т.Г.

«Правило креста»  При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей: Например, для приготовления 30 г 80% раствора H 3 PO 4  требуется взять 20 г 90% и 10 г 60% растворов кислоты. Рулева Т.Г.

«Правило креста»

  • При решении задач на смешивание растворов разных

концентраций используется «правило креста». В точке

пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси.

У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают

концентрации составных частей смеси, а справа – разности

концентраций смеси и ее составных частей:

  • Например, для приготовления 30 г 80% раствора H 3 PO 4

требуется взять 20 г 90% и 10 г 60% растворов кислоты.

Рулева Т.Г.

Имеется два кислотных  раствора с концентрацией 20%  и 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе? Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты. Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты. При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты. Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%.  Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5% Рулева Т.Г.

Имеется два кислотных раствора с концентрацией 20% и 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?

  • Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.
  • Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.
  • При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.
  • Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%.

Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%

Рулева Т.Г.

В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне? Обозначим искомую величину за Х. По правилу квадрата получим: Составим пропорцию:  = х = 4,8 Ответ: 4,8 % - жирность молока.  4 6 - х х х - 3 6 Рулева Т.Г.

В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?

  • Обозначим искомую величину за Х.
  • По правилу квадрата получим:
  • Составим пропорцию:

= х = 4,8

Ответ: 4,8 % - жирность молока.

4

6 - х

х

х - 3

6

Рулева Т.Г.

Сплавили два слитка серебра:  75 г 600-й и 150 г 864-й пробы.  Определите пробу сплава.  Пусть проба сплава равна х .  Составим диагональную схему:  Получаем:  (864 – х ) : ( х – 600) = 75 : 150  1728 – 2 х = х – 600  х = 776. Ответ: сплав 776-й пробы. Рулева Т.Г.

Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определите пробу сплава.

  • Пусть проба сплава равна х .

Составим диагональную схему:

  • Получаем:

(864 – х ) : ( х – 600) = 75 : 150

1728 – 2 х = х – 600

х = 776.

Ответ: сплав 776-й пробы.

Рулева Т.Г.

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?      По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.  Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение  *х + * у = * 1  Аналогично массу серебра и получаем уравнение  * х + * у = * 1  Записываем одну из систем:  х + у = 1  х + у =  х + у = 1  х + у =  Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875 Ответ: 125 г золота и 875 г серебра. Золото: Серебро = 2: 3 Золото: Серебро = 3: 7 У кг Х кг Золото: Серебро = 5: 11 Рулева Т.Г.

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

*х + * у = * 1

Аналогично массу серебра и получаем уравнение

* х + * у = * 1

Записываем одну из систем:

х + у = 1

х + у =

х + у = 1

х + у =

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

Ответ: 125 г золота и 875 г серебра.

Золото: Серебро = 2: 3

Золото: Серебро = 3: 7

У кг

Х кг

Золото: Серебро = 5: 11

Рулева Т.Г.

От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков? Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция  стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах  пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди  стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления  0,6(3-х)+0,8х и 0,8(2-х)+0,6х  = , х = 1,2  Ответ: 1,2 кг m м (кг) 1,8+0,2х 1,6-0,2х 3 2 m c (кг) Рулева Т.Г.

От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?

  • Обозначим массу отрезанного куска х (кг).
  • Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция

стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах

пропорциональны.

  • Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг).
  • После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди

стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления

0,6(3-х)+0,8х и 0,8(2-х)+0,6х

= , х = 1,2

Ответ: 1,2 кг

m м (кг)

1,8+0,2х

1,6-0,2х

3

2

m c (кг)

Рулева Т.Г.

Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди.  Сколько кг меди было в куске латуни первоначально? Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его содержание меди составляет р =  %. Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем:  = х = 22,5  Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни. р 25 75 100 75 - р Рулева Т.Г.

Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько кг меди было в куске латуни первоначально?

  • Обозначим искомую величину за х.
  • Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его содержание меди составляет р = %.
  • Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем:

= х = 22,5

Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни.

р

25

75

100

75 - р

Рулева Т.Г.

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%? Аналитическая модель. Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08 Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди. Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение: 0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08. Решив уравнение, получим х = 12.  Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди Рулева Т.Г.

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Аналитическая модель.

Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08

Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди,

а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди.

Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение: 0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08.

Решив уравнение, получим х = 12.

Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди

Рулева Т.Г.

Способ Л.Ф.Магницкого  для трех веществ Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт? Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен 5 6 6 6 2/8 12 1 1 5 2 6 1/10 8 1 Рулева Т.Г.

Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ

  • Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт,

индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт.

В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай

стоимостью 6 гривен за фунт?

  • Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.

Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен

5

6

6

6

2/8

12

1

1

5

2

6

1/10

8

1

Рулева Т.Г.

Задачи для самостоятельной работы 1. К 200г раствора содержащего 60% соли, добавили 300г раствора, содержащего 50% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? Ответ: 54%. 2. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентное содержание меди в получившемся сплаве. Ответ: 65%. 3. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%? Ответ:12т. 4*. Для приготовления маринада необходим 2% раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9% раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350г. Указание: В 100г 9% раствора содержится 9г уксуса. Если 9г уксуса составляют 2% раствора, то вся масса раствора равна (9:2)*100 = 450(г). Рулева Т.Г.

Задачи для самостоятельной работы

1. К 200г раствора содержащего 60% соли, добавили 300г раствора, содержащего 50% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? Ответ: 54%.

2. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентное содержание меди в получившемся сплаве. Ответ: 65%.

3. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%? Ответ:12т.

4*. Для приготовления маринада необходим 2% раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9% раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350г.

Указание: В 100г 9% раствора содержится 9г уксуса. Если 9г уксуса составляют 2% раствора, то вся масса раствора равна (9:2)*100 = 450(г).

Рулева Т.Г.

«Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи».  Антуан Де Сент-Экзюпери «При единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается».  Саллюстий Гай Крисп  Домашнее задание: Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%? Рулева Т.Г.

«Только из союза двоих, работающих вместе

и при помощи друг друга, рождаются великие вещи». Антуан Де Сент-Экзюпери

«При единении и малое растет,

при раздоре и величайшее распадается».

Саллюстий Гай Крисп

Домашнее задание:

Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Рулева Т.Г.

-75%
Курсы повышения квалификации

Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики в условиях реализации ФГОС в основной школе

Продолжительность 72 часа
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
4000 руб.
1000 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Решение задач на смеси, сплавы и растворы (936.95 KB)

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт