МОУ «Средняя школа №43» г. Петрозаводск
Решение задач на смеси, сплавы и растворы
Рулева Т.Г.
Закон сохранения объема и массы
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты.
Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V 1 + V 2 и m = m 1 + m 2 – сохраняется объем и масса.
Примеры:
1.Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди.
2.Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4.
Рулева Т.Г.
Немного теории
- Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.)
- Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси.
- Относительное содержание вещества в смеси называют процентным содержанием или концентрацией.
Рулева Т.Г.
ЗАДАЧА №1
900 г
100 %
100 %
300 г
270 г
30 %
270 г
90 %
300*90:100
300*90:100
300+900
Смешивают 300г 90%-го
раствора соли и 900г 30%-го
раствора той же соли.
Определите процентное содержание
соли в полученном растворе.
1200 г
100%
Ответ: 45%
540 г
45%
270+270
540*100:1200
Рулева Т.Г.
ЗАДАЧА №2
М С
М С
Cu
Cu
Zn
Zn
65%
15%
х
200 - х
65% =0,65
15% =0,15
30%
Имеются два сплава меди со
свинцом. Один сплав содержит
15% меди, а другой 65%.
Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 200г
сплава, содержащего 30% меди?
200
0,15х+0,65(200-х) = 0,3*200
0,15х - 0,65х = -130 + 60
- 0,5х = -70
х = 140
200 - 140 = 60
Ответ: 140г первого и 60г второго
Рулева Т.Г.
ЗАДАЧА №3
Песок
Цемент
Чтобы залить фундамент требуется
бетон. Для его приготовления нужен
цемент, песок, щебень и вода. Вода
составляет 75% от количества цемента,
песка нужно взять в 2 раза больше, а
щебня в 4 раза больше цемента.
Сколько можно получить бетона из
12 ведер цемента?
Щебень
Ответ:
93 ведра бетона
Рулева Т.Г.
Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько г каждого раствора надо было взять?
- Решение 1. Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x). Составим уравнение:
30x + 10* (600 - x) = 600 *15 x = 150
- Решение 2: с использованием графика.
Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников:
15x = 5 (600- x)
x =150
Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора
n (%)
30
S 1
S 1 = S 2
15
S 2
10
x
0
600
m(г)
Рулева Т.Г.
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять лома каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля?
- С использованием графика: (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)
10*х = 25*(140 – х)
х = 100
140 – 100 = 40
Ответ: 100 т и 40 т
n(%)
S 1 = S 2
40
S 1
30
S 2
5
m(г)
0
x
140
Рулева Т.Г.
«Правило креста»
- При решении задач на смешивание растворов разных
концентраций используется «правило креста». В точке
пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси.
У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают
концентрации составных частей смеси, а справа – разности
концентраций смеси и ее составных частей:
- Например, для приготовления 30 г 80% раствора H 3 PO 4
требуется взять 20 г 90% и 10 г 60% растворов кислоты.
Рулева Т.Г.
Имеется два кислотных раствора с концентрацией 20% и 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?
- Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.
- Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.
- При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.
- Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%.
Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%
Рулева Т.Г.
В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
- Обозначим искомую величину за Х.
- По правилу квадрата получим:
- Составим пропорцию:
= х = 4,8
Ответ: 4,8 % - жирность молока.
4
6 - х
х
х - 3
6
Рулева Т.Г.
Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определите пробу сплава.
- Пусть проба сплава равна х .
Составим диагональную схему:
- Получаем:
(864 – х ) : ( х – 600) = 75 : 150
1728 – 2 х = х – 600
х = 776.
Ответ: сплав 776-й пробы.
Рулева Т.Г.
Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?
По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.
Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение
*х + * у = * 1
Аналогично массу серебра и получаем уравнение
* х + * у = * 1
Записываем одну из систем:
х + у = 1
х + у =
х + у = 1
х + у =
Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875
Ответ: 125 г золота и 875 г серебра.
Золото: Серебро = 2: 3
Золото: Серебро = 3: 7
У кг
Х кг
Золото: Серебро = 5: 11
Рулева Т.Г.
От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?
- Обозначим массу отрезанного куска х (кг).
- Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция
стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах
пропорциональны.
- Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг).
- После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди
стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления
0,6(3-х)+0,8х и 0,8(2-х)+0,6х
= , х = 1,2
Ответ: 1,2 кг
m м (кг)
1,8+0,2х
1,6-0,2х
3
2
m c (кг)
Рулева Т.Г.
Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько кг меди было в куске латуни первоначально?
- Обозначим искомую величину за х.
- Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его содержание меди составляет р = %.
- Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем:
= х = 22,5
Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни.
р
25
75
100
75 - р
Рулева Т.Г.
Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?
Аналитическая модель.
Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08
Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди,
а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди.
Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение: 0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08.
Решив уравнение, получим х = 12.
Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди
Рулева Т.Г.
Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
- Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт,
индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт.
В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай
стоимостью 6 гривен за фунт?
- Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.
Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен
5
6
6
6
2/8
12
1
1
5
2
6
1/10
8
1
Рулева Т.Г.
Задачи для самостоятельной работы
1. К 200г раствора содержащего 60% соли, добавили 300г раствора, содержащего 50% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? Ответ: 54%.
2. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентное содержание меди в получившемся сплаве. Ответ: 65%.
3. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%? Ответ:12т.
4*. Для приготовления маринада необходим 2% раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9% раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350г.
Указание: В 100г 9% раствора содержится 9г уксуса. Если 9г уксуса составляют 2% раствора, то вся масса раствора равна (9:2)*100 = 450(г).
Рулева Т.Г.
«Только из союза двоих, работающих вместе
и при помощи друг друга, рождаются великие вещи». Антуан Де Сент-Экзюпери
«При единении и малое растет,
при раздоре и величайшее распадается».
Саллюстий Гай Крисп
Домашнее задание:
Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
Рулева Т.Г.