Решение практических задач ОГЭ. Математика. Зонт. 9 класс.

Задачи ОГЭ 1-5 Математика Зонт

Учитель первой категории

МАОУ СОШ 61

Ветошкина Вера Александровна

г. Нижний Тагил

C

h=25

А

В

R

Рис.1

о

d=100

Риc.2

• 1. 1Два друга Петя и Вася задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт

Петя и Вася сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 38 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 100 см.

• 1 . 1Длина зонта в сложенном виде равна 25 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,2 см.
• Решение.
• 1) Сколько сантиметров треть спицы ?
• 25 – 6,2 = 18,8 см
• 2) Найдем длину всей спицы.
• 18,8∙3 = 56,4 см
• Ответ: 56,4

Рис.3

Задание 2. 1Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Пети, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 53,1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.

• Решение.
• Высота h = 53,1 см, проведенная к основанию a = 38 см.
• Площадь каждого сегмента ( площадь одного треугольника) , равную:
• Sсег= 0,5ah
• Sсег= 0,5·38·53,1= 1008,9 см²
• Так как таких сегментов 8, то получаем полную площадь поверхности:
• 8Sсег = 8·1008,9 = 8071, 2см²
• 807/ 1 , 2 ≈ 8070
• Округляем до десятков, получаем 8070 кв. см.
• Ответ: 8070

h=53,1

a =38см

C

Задание 3. 1Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах

h=25

0,5 d

А

R-h

R

о

d=100

Риc.2

• Решение.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами d / 2 = 0,5d и R-h , а гипотенузой R.
• Рассмотрим по теореме Пифагора можно записать равенство: R²= (0,5d)² + ( R-h)²
• R² = 0,25d² + R²- 2Rh+ h²
• Решаем уравнение относительно R, имеем:
• R²=2500+ R² -50 R +625
• 50R= 3125
• R=62,5
• Ответ: 62,5

Задание 4. 1Вася нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2πRh , где R — радиус сферы, а h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Васи. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.

• Решение. Подставим в формулу площади купола зонта числовые значения, получим:
• 𝑆 поверх. купола = 2πRh
• Значение R возьмём из задания №3. R = 62,5 см. h = 25 см, тогда S = 2· 3,14 ∙62,5 ∙25= 9812,5 ( см ² )
• Результат округлим до целого 9812/ ,5 ≈ 9813
• Ответ: 9813

Задание 5. 1Рулон ткани имеет длину 35 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 29 зонтов, таких же, как зонт, который был у Пети и Васи. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?

• Решение. Вычислим площадь ткани в кв. см, получим: S = 3500∙80 = 280 000 см²
• Площадь клиньев для 29 зонтов, равна:
• S= 29∙8∙1050 = 243 600 см²
• Площадь обрезков: 280 000 – 243 600 =

= 36 400 см²

• Что составляет: 36400 : 280000∙ 100%=13 .
• Ответ: 13

C

h=27

А

R

о

Рис.1

d=108

Риc.2

• 2. Две подруги Аня и Оля задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт
• Оля и Аня сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 28 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 27 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 108 см.

• 2.1. Длина зонта в сложенном виде равна 27 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,8 см.
• Решение: Длина зонта в сложенном виде вместе с длиной ручки равна 27 см. Надо вычесть длину ручки и результат умножить на три (т.к. спицы зонта сложились трижды) (27 – 6,8) · 3 =20,2∙ 3 = 60,6 (см) Ответ: 60,6

Рис.3

Задание №2 Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждала Оля, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Оли, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 59 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.

• Решение: h=59 см а = 28см Зонт сшит из 12 треугольников
• 𝑆 пов .= 0,5 𝑎·ℎ ∙ 12
• 𝑆 пов .= 0,5 𝑎·ℎ ∙ 12= = 0,5 ·28·59 ∙ 12 = 9912 ( см ² )
• Результат округлим до десятков 991/ 2 ≈ 9910 Ответ: 9910.

h = 59cм

а =28см

C

Задание №3 Аня предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС= R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах

h=27

54

А

В

R

о

d=108

Риc.2

• Решение.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами
• АВ= d / 2 = 0,5d =54 и OB=R-h= R-27 , а гипотенузой R.
• Рассмотрим по теореме Пифагора можно записать равенство:
• R²= (54)² + ( R-27)²
• R² = 2916 + R²- 2 ⸱ 27R+ 27²
• Решаем уравнение относительно R, имеем:
• R²= 2916 + R² -54 R +729
• 54R= 3645
• R=67,5
• Ответ: 67,5

Задание №4 Аня нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S=2πRh, где R- радиус сферы, а h-высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Ани. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.

• Решение : 𝑆 поверх. купола = 2πRh Значение R возьмём из задания №3. R = 67,5 см. h = 27 см, тогда S = 2· 3,14 ∙67,5 ∙27=11445,3( см 2 ) Результат округлим до целого 11445/ ,3 ≈ 11445 Ответ: 11445

Задание №5 Рулон ткани имеет длину 20 м и ширину 90 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 15 зонтов, таких же, как зонт, который был у Оли и Ани. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 850 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?

• Решение: Длина рулона ткани а=20м =2000см Ширина ткани b=90см. 1)Площадь рулона ткани S рулона= a·b S рулона= a·b = 2000·90 = 180000 ( см ² ) 2)Площадь ткани на все треугольники, а их 12 S всех треугольников = 850∙12·15= 153000(см ²) 180000 – 153000 =27000 кв.см 3) 180000 см² - 100% 27000 см² - Х% Х= 27000∙100 :180000 = 15% Ответ: 15

Литература

• Типовые экзаменационные варианты. Математика. ОГЭ 36 вариантов под редакцией И.В. Ященко, М. 2021 Сайт ФИПИ.
• Типовые экзаменационные варианты. Математика. ОГЭ 50 вариантов под редакцией И.В. Ященко, М. 2020 Сайт ФИПИ.