Решение задачи С3 из ЕГЭ-2013 по информатике

Условие задачи:

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 < S < 21. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

2. Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем

- Петя не может выиграть за один ход, и

- Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

3. Укажите значение S, при котором:

- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и

- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.

Рассуждаем:

Последним ходом, завершающем игру, может быть ход «+1» или  ход «*2»

Получаем ответ на вопрос 1а:

Петя может выиграть за один ход при любом 11 £ S £ 21. Он должен увеличить вдвое число камней, при этом в куче всегда получится не менее 22 камней.

Определим позицию, из которой все возможные ходы ведут к выигрышу за один ход, т.е. в позиции, где в куче 11, 12, …, 21 камней.

Это позиция с 10 камнями

Получаем ответ на вопрос 1б:

При S= 10 Петя не может выиграть в один ход, потому, что при его ходе «+1» число камней в куче становится равно 11, при ходе «*2» число камней в куче становится равно 20. Других возможных ходов у Пети нет. Из любой позиции после одного хода Пети Ваня может выиграть своим первым ходом, удвоив количество камней в куче.

Вопрос 2.

Нужно найти две позиции, из которых Петя гарантированно выиграет за два хода, но не выиграет за один. Т.е. первым ходом Петя делает в куче 10 камней для Вани (из этой позиции любой ход не дает возможности выиграть, но позволяет выиграть сопернику- вопрос 1б), следующим ходом Петя – выигрывает.

Попасть в позицию «10 камней» можно из позиции «9 камней» ходом +1 или из позиции «5 камней» ходом *2

Получим ответ на вопрос 2

Из позиций «9 камней» и «5 камней» Петя не может выиграть в один ход, но Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня.  Из позиции «9 камней» ходом +1, а из позиции «5 камней» ходом  *2 Петя выводит Ваню в позицию «10 камней». При любом ходе Вани своим вторым ходом Петя удваивает количество камней и выигрывает.

Вопрос 3.

Нужно найти такую позицию, из которой оба возможных хода Пети ведут в позиции из которых соперник (Ваня) выиграет за один или два хода. Это позиция «9 камней» – выигрыш Вани за два хода и позиции «11 камней», «12 камней», …, «21 камень» - выигрыш Вани за один ход.

Находясь в позиции «8 камней» Петя может попасть в позицию «9 камней» ходом +1, или в позицию «16 камней» ходом *2.

Что позволит  Ване выиграть из позиции «9 камней» за два хода или из позиции «16 камней» за один ход.

Получим ответ на вопрос 3.

У Вани есть выигрышная стратегия, если в позиции «8 камней» ход должен делать Петя.

Если Петя удваивает количество своих камней (попадает в позицию «16 камней»), Ваня выигрывает за один ход удвоив число камней в куче.

Если Петя выбирает ход «+1», то из позиции «9 камней» Вани выигрывает за два хода.

Получаем дерево возможных вариантов игры.