Разработка урока по теме «Последовательности»
Цели урока:
Создание условий для формирования понятия числовой последовательности и способов её задания;
развитие способности к обобщению, сравнению; эмоционального восприятия математических объектов;
формирование представлений о математике как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира.
Планируемые результаты:
умение понимать смысл поставленной задачи, ясно и чётко излагать свои мысли в устной речи;
самооценка результатов деятельности, осознание границ применения нового знания;
умение работать в команде;
ценностно-эмоциональное отношение к изучаемому математическому содержанию с общекультурных позиций;
представление о значении математической науки как сфере человеческой деятельности.
умение выделять главное, сравнивать, обобщать, проводить аналогию, выдвигать гипотезы при решении учебных задач;
осознанное чтение текста;
представление о математике как средстве моделирования явлений окружающего мира.
понятие числовой последовательности;
умение использовать индексные обозначения и строить речевые высказывания с использованием специальной терминологии;
умение устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько её новых членов;
умение изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
Ход урока.
I этап. Актуализация знаний учащихся
1.1. Учитель. Сегодня мы приступаем к изучению новой для вас темы. Эта тема поможет открыть закономерности, встречающиеся в нашей жизни. Надеюсь, что сегодняшний урок, выводя вас на смыслы изучаемых понятий, поможет освоить новую тему с интересом и хорошими результатами, одним из которых будет яркий образ науки математики как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира.
Одним из основных понятий, изучением которых занимается математика, является понятие числа. Наверное, поэтому числовые головоломки решают и взрослые, и дети. Я предлагаю вам несколько таких головоломок, взятых мною из сети Интернет. Думаю, их разгадывание позволит не только провести интеллектуальную разминку в начале урока, но и выведет вас на дорогу познания смыслов новых математических понятий, связанных с его величеством Числом.
1.2. Самостоятельная работа (индивидуально, с разрешением работать в парах).
Задание 1. Вставьте промежуточные числа, если все тройки чисел составлены по одному и тому же правилу:
а) б) в)
| 651 | (331) | 342 |
| 449 | (?) | 523 |
Задание 2. Найдите закономерность в последовательности чисел и замените вопросительный знак числом:
82, 97, 114, 133, ? .
Проверка выполнения (фронтально): ученики называют полученные ответы, объясняя, какую закономерность они установили.
( вариантов ответов в каждом случае может быть несколько).
1.3. Беседа с элементами дискуссии.
Вопрос. Можно ли поставить другое число вместо числа 6 в случае 1а? вместо числа 14 в случае 1б?
Предполагаемый ответ: Да, если мы найдём иную закономерность между числами 8, 5 и 3 помимо 8 – 5 = 3 (или для второго случая одинаковую закономерность для троек чисел 2, 4, 10 и 3, 5, 17).
В случае положительного ответа ученики могут показать, например, следующий вариант: 5+8=13, количество единиц 3. Тогда 13+7=20, количество единиц 0, это и будет искомым числом.
В случае отрицательного ответа можно обойтись и очевидными закономерностями, тем более если учащиеся не нашли при работе с головоломками иных вариантов решения, и сэкономить на этом время обсуждения.
Вопрос. Как вы понимаете слово «закономерность»?
(Очевидно, учащиеся будут оперировать понятиями, известными им из курса обществознания: правило – закон – норма – право.)
Учитель. Верно, однокоренные слова закономерность и закон – это близкие понятия. Убедимся в этом с помощью философского словаря.
На слайде выводится определение: Философский словарь: «Закон – внутренняя существенная и устойчивая связь явлений, обусловливающая их упорядоченные изменения. На основе знания закона возможно достоверное предвидение течения процесса. Понятие закон близко к понятию закономерность, которое представляет собой совокупность взаимосвязанных законов, обеспечивающих устойчивую тенденцию или направленность в изменениях системы».
Вопрос. Как вы думаете, возможно ли существование мира без законов?
Предполагаемый ответ: Законы природы и естественные законы (механические, физико-химические, органические законы и др.) существуют объективно и не зависят от желаний людей: закон всемирного тяготения и тд.
Вопрос. А лично вам нужны законы?
Предполагаемый ответ: Знание законов позволяет защитить себя в как в природе, так и в обществе. Изучая законы, человек определяет своё место в мире и познаёт себя.
Вопрос. Нужно ли изучать законы?
Предполагаемый ответ: Познать закон означает раскрыть ту или иную сторону сущности исследуемого предмета, явления.
Вопрос. Какую роль математика играет в познании человеком законов мира?
Предполагаемый ответ: Математика является верным союзником человека на пути познания законов природы и человеческого общества: она и инструмент моделирования реальных объектов и явлений, и универсальный язык науки и техники.
II этап. Освоение нового материала
2.1. Учитель. Отражая существенные и устойчивые связи явлений реального мира, математика и сама соткана из законов и закономерностей. Многие закономерности, существующие в мире чисел, были известны ещё в древности
2.2. Работа в микрогруппах.
Задание 3. Попробуйте по первым числам из серий чисел догадаться, по какому правилу построены эти серии:
1, 2, 3, 4,…
2, 4, 6, 8, …
1, 3, 5, 7, …
1, 4, 9, 16, …
2, 3, 5, 7, 11, …
1, 
, 
, 
, …
Проверка выполнения: устное представление каждой микрогруппой результатов выполнения задания.
Предполагаемый ответ:
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, … - натуральные числа;
2) 2, 4, 6, 8,10, … - чётные числа;
3) 1, 3, 5, 7, 9, … - нечётные числа;
4) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … - квадраты натуральных чисел:
5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … - простые числа;
6) 1, , , , 
, 
,…- числа, обратные натуральным .
По ходу обсуждения на слайде появляются следующие члены последовательностей и названия этих числовых множеств.
Задание 4. Попробуйте определить, что является общим и главным для всех этих серий чисел.
Проверка выполнения: устное представление каждой микрогруппой своих гипотез.
Предполагаемый ответ: Общим для всех рядов чисел является то, что числа записаны в определённом порядке, последовательности.
В ходе обсуждения должны появиться следующие слова: очерёдность, порядок и т.п.
Задание 5. Попробуйте сформулировать определение понятия «числовая последовательность».
Проверка выполнения: каждая микрогруппа представляет свою формулировку определения. Это можно сделать на доске, на заранее заготовленных листах формата А3
Учитель. Сравните своё определение с определением из школьного учебника: «Числовая последовательность – это записанные в определённом порядке числа».
2.3. Фронтальная работа.
Учитель. В общем случае числовые последовательности могут быть конечными и составлены из произвольных чисел. Числовыми последовательностями, например, являются выписанные по порядку отметки каждого из вас в классном журнале по алгебре или результаты каких-либо измерений: например, температуры воздуха. Главным является именно порядок: каждое число стоит на своём месте. Запишем числовую последовательность в общем виде.
На 1 месте а1
на 2 месте а2
на 3 месте а3
Все числа последовательности называются членами последовательности, индексы 1, 2, 3, … - номерами членов
последовательности.
Вопросы:
– Как записать член последовательности с номером 4?
– С номером п?
– Какой номер будет у члена последовательности, предшествующего ап?
– А у следующего за ним?
– Как записать член последовательности, предшествующий ап?
– Следующий за ним?
На слайде :
На 1 месте а1
на 2 месте а2
на 3 месте а3
……………………….
на п-1-вом месте ….
на п-ном месте …
на п+1-вом месте …
……………………….
а1, а2, а3, …, ап-1, ап, ап+1, … - числовая последовательность, коротко: (ап) или в некоторых учебниках: 
2.4. Работа в микрогруппах.
Учитель. Очевидно, что номера – это натуральные числа. Таким образом, числовая последовательность представляет собой функцию натурального аргумента: ап=f(п).
Задание 6. Вы умеете строить графики многих элементарных функций, изучаемых в школьном курсе математики. Используя этот опыт, изобразите точками на координатной плоскости несколько первых членов числовой последовательности (любой из шести, с которыми мы уже работали или вами придуманной). Давайте уточним:
- что будем откладывать по горизонтальной оси?
- по вертикальной?
Проверка выполнения: представление каждой микрогруппой графика выбранной последовательности.
Для организации такой работы нужно заранее приготовить листы формата А3 с заранее нанесённой на них системой координат.
2. Выполнение этого задания позволяет наглядно обеспечить понимание того факта, что последовательность - это зависимость, функция натурального аргумента.
3
. Есть смысл показать график не монотонной последовательности, например, такой: 0, 1, 
, 
, 
,….(*) (Первый член равен 0, второй – 1, каждый, начиная с третьего, равен полусумме двух предыдущих).
2.5. Фронтальная работа.
Задание 7. Итак, там, где каждому натуральному п соответствует своё число ап, мы говорим о числовой последовательности. Приведите свои примеры числовых последовательностей.
Проверка выполнения: по желанию учащиеся представляют придуманные ими последовательности у доски.
Вопрос: В чём была трудность выполнения задания?
Предполагаемый ответ: Трудно было придумать связь между членами последовательности (правило или закономерность для составления последовательности).
Учитель. Вот мы и опять вернулись к понятию «закономерность». Слово закономерность состоит из двух корней: закон и мера, значит, закономерность предполагает возможность измерить что-то неким законом. В нашем случае: постичь взаимосвязь между числами-членами последовательности.
2.6. Работа в микрогруппах.
Учитель. Существует три способа задания числовых последовательностей.
1-й способ. Самый удобный, когда по номеру можно вычислить соответствующий член последовательности.
Задание 8. Попробуйте для вышеперечисленных последовательностей связать в формулу переменные п и ап.
Проверка выполнения: Каждая микрогруппа представляет результаты деятельности у доски.
По завершении отчётов групп формулы п-ного члена последовательностей появляются на уже известном слайде:
1) 1, 2, 3, 4,…(ап=п) - последовательность натуральных чисел
2) 2, 4, 6, 8, …(ап=2п) - последовательность чётных чисел
3) 1, 3, 5, 7, …(ап=2п-1) - последовательность нечётных чисел
4) 1, 4, 9, 16, …(ап=п2) - последовательность квадратов натуральных чисел
5) 2, 3, 5, 7, 11, …? - последовательность простых чисел
6) 1, , , ,…(ап=
) - последовательность чисел, обратных натуральным
( Полезно устно убедиться в справедливости формул.)
Учитель. Составленные вами формулы называются формулами п–ного (или общего) члена последовательности. Итак, первый способ задания последовательности – формулой п-ного члена.
Написание какой формулы вызвало затруднение?( 5)
Учитель. Второй способ -описательный (Решето Эратосфена), работа с учебником.
.
Учитель. Третий способ задания последовательности называется рекуррентным (от латинского recursio – возвращаться). Он позволяет, зная один или несколько предыдущих членов, найти следующий член числовой последовательности. Примером, демонстрирующим этот способ, является последовательность (0;1;0;1….): в ней а1=0; а2=1; каждый следующий член, начиная с предыдущего:
ап=(ап-2 +ап-1) .
Каждый способ имеет свои достоинства. На следующих уроках вы сможете их оценить.
2.7. Рассказ учителя. Домашнее задание.
Учитель. С последовательностями связанно много интересных задач, берущих своё начало в практической деятельности человека. Со времён средневековья известна задача о кроликах, которую связывают с именем Леонардо Фибоначчи, итальянского учёного из города Пиза.
Вот один из вариантов этой задачи:
Пара кроликов, начиная с двухмесячного возраста, ежемесячно производит новую пару. Сколько всего пар кроликов будет в декабре, если первая пара новорождённых кроликов появилась в январе (при условии, что все кролики останутся живы)?
Задание 10. К следующему уроку я прошу вас придумать способ решения данной задачи, выписать последовательность чисел, которая получится в ходе решения и попытаться определить, каким способом можно её задать.
Записать домашнее задание:
1) изучить теорию (соответствующие номера пунктов или параграфов);
2) придумать способ решения и решить задачу Фибоначчи; найти способ задания последовательности Фибоначчи
Кому будет трудно, можете воспользоваться различными энциклопедиями по математике. Информацию вы легко найдёте и в интернете. Ведь эта последовательность, члены которой называются числами Фибоначчи, широко известна в мире.
Учитель. Надеюсь, вам очень хочется увидеть, как выглядит последовательность Фибоначчи. Но оставим эту интригу для домашней работы.
III этап. Рефлексия
3.1.
Задание 11.
Вопрос. А из тех последовательностей, которые вы рассмотрели сегодня на уроке, какая вам представляется наиболее интересной и чем?
Предполагаемые ответы: Первая последовательность знакома нам с детства, причём мы все учимся считать именно в этой последовательности. Последовательность 6 отличается своей загадочностью: её члены с возрастанием номеров уменьшаются и т. п.
Учитель. Конечно же, русское слово последовательность было знакомо вам ещё до сегодняшнего урока. Посмотрите, какие синонимы существуют у этого слова:
- логичность, связность, непротиворечивость;
- порядок, очерёдность;
- череда, вереница, цепочка;
- ряд.
Вопросы.
Какой синоним наиболее отвечает вашему представлению о последовательностях?
С чем лично у вас ассоциируется понятие последовательности?
Что вам дало изучение понятия числовой последовательности?
Что вызвало наибольшие затруднения?
Отмечаются активные ученики ( выставляется оценка, даются накопительные бонусы и т.д.). Благодарит учитель учеников за урок.
Получите свидетельство
Вход
Разработка урока по математике «Последовательности» (0.11 MB)
0
1299
93
Нравится
0
