Разработка урока и презентация по алгебре «Решение уравнений высших степеней»

Цель урока:

1) повторить методы решения уравнений из курса алгебры 7-8 классов;

2) научиться находить рациональные корни многочлена;

3) проводить исследование многочлена.

Ход урока.

I) Повторить методы решения следующих уравнений (слайд 2) (Решаем устно с объяснением методов)

II) Вопрос (проблема): Как решить уравнения:

х³-5х+4=0; х⁴-2х³+2х-1=0?

Что у нас имеется по решению данной проблемы?

а) Умеем понижать степень многочлена с помощью теоремы Безу.

б) Знаем определение корня уравнения.

III) Возникает вопрос: «Как найти этот корень уравнения, с помощью которого понизим степень?» (слайд 3, 4)

Рассмотрим приведённое уравнение х³+х²-4х+2=0, а₀=2.

Найдём делители числа 2:  1;– 1;  2; – 2.

Пусть f(x)=x³+x²-4x+2. Проверим f(1)=1+1-4+2=0. Итак, x₁=1 корень уравнения.

Понизим степень многочлена f(x) по схеме Горнера/

x²+2x-2=0.

D/4=1+2=3

x₂=-1+√3

x₂=-1-√3

Ответ: 1; -1-√3; -1+√3.

IV) Самостоятельно решить по вариантам (слайд 5)

V) Бывают уравнения, которые имеют корень, но этот корень не целый. Как поступить в этом случае?

Рассмотрим уравнение х³+2х²+х+1=0, а₀=1.

Делители 1: -1;1..

р(1)=5≠0; р(-1)=1≠0.

Целых корней нет.

Введём функцию f(x)=x³+2x²+x+1 и исследуем её с помощью производной.

f'(x)=3x²+4x+1

3x²+4x+1=0

D=16-12=4

x_1,2=-4±2/6

x₁=-1;

х₂=-1/3.

Весь материал - в архиве.