Раздел: Геометрия. Тема: Правильные многогранники

Медицинский колледж

ФГБОУ ВО ДГМУ Минздрава России.

Технологическая карта теоретического занятия

Специальность: 34.02.01 «Сестринское дело»

Название УД: «БД.4. ОУД.03 математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия».

Вид занятия: Теоретического занятие.

Тема урока: «Правильные многогранники».

Цель урока: создание условий для формирования понятия правильного многогранника, знаний о свойствах многогранников, знаний из истории теории многогранников, представлений о связи математики с другими науками.

Цели урока:

Образовательные:

Формировать понятия правильного многогранника, пространственные представления, математическую культуру, культуру общения.

Развивающие:

Развивать практические навыки учащихся по изготовлению правильных многогранников. Развивать умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интерес к предмету через использование информационных технологий.

Воспитательные:

Воспитывать обще трудовые умения, графическую культуру, умения работать в группе.

Материально - техническое обеспечение: компьютер, проектор, презентация, модели правильных многогранников.

Этапы и хронология занятия:

Содержание учебного материала:

- Гексаэдр и его свойства.

- Тетраэдр и его свойства.

- Октаэдр и его свойства.

- Икосаэдр и его свойства.

- Додекаэдр и его свойства.

Ход урока:

1.Организационный момент

2. Формулировка темы, ее мотивация, цели:

Мне хотелось бы начать со слов Льюиса Кэрролла: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Название «правильные» идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке.

3. Контроль знаний:

- Сформулируйте понятие геометрии.

- Что такое планиметрия?

- Что такое стереометрия?

- Понятия геометрических фигур: Параллелограмм, окружность, квадрат, ромб.

4. Изложение нового материала:

Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.

1. Гексаэдр и его свойства.

Куб составлен из шести квадратов.

Каждая его вершина является вершиной трех квадратов.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов.

Таким образом, куб имеет: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности куба: S = 6a²

Объем куба: V = a³

1. Тетраэдр и его свойства.

Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников.

Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов.

Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем тетраэдра:

1. Октаэдр и его свойства.

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов.

Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем октаэдра:

1. Икосаэдр и его свойства.

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов.

Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Икосаэдр имеет центр симметрии – центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем икосаэдра:

1. Додекаэдр и его свойства.

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем додекаэдра:

Правильные многогранники в геометрии.

Вывод: всех многогранников объединяет что-то общее. Давайте заполним таблицу и сделаем выводы:

В последнем столбце получилось одинаковое число 2. Это число называется

Эйлеровой характеристикой в честь Леонардо Эйлера.

«Правильные многогранники в философской картине мира Платона».

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Преподаватель: А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).

5. Закрепление изученного материала:

1. Сформулировать понятие многогранников.

2. Перечислите правильные многогранники.

3. Сформулируйте понятия: Гексаэдр, Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Додекаэдр?

6. Подведение итогов. Выставление оценок.

7. Домашнее задание.

Подготовить дополнительные сведения.

Кроме пяти правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда.

Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом.

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20. Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).