Равномерное движение

Равномерное движение, относительность движения

1. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти пути S ве­ло­си­пе­ди­ста от вре­ме­ни t.

Опре­де­ли­те ин­тер­вал вре­ме­ни после на­ча­ла от­сче­та вре­ме­ни, когда ве­ло­си­пе­дист дви­гал­ся со ско­ро­стью 

1) от 50 с до 70 с

2) от 30 с до 50 с

3) от 10 с до 30 с

4) от 0 до 10 с

Ре­ше­ние.

Для того чтобы по гра­фи­ку за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни найти ско­рость дви­же­ния тела в не­ко­то­рый мо­мент, не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить тан­генс угла на­кло­на гра­фи­ка в со­от­вет­ству­ю­щей точке. Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле от 0 до 10 с ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста была по­сто­ян­на и рав­ня­лась

На дру­гих ин­тер­ва­лах ско­рость была иная.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

2. На рисунке представлен график движения автобуса из пункта A в пункт Б и обратно.

Пункт A находится в точке   а пункт Б — в точке   Чему равна максимальная скорость автобуса на всем пути следования туда и обратно? (Ответ дайте в километрах в час.)

Решение.

Для того чтобы по графику зависимости координаты от времени найти скорость движения тела в некоторый момент, необходимо вычислить тангенс угла наклона графика в соответствующей точке. Максимальной скорости соответствует максимальный угол наклона. Из приведенного графика видно, что с максимальной скоростью автобус движется из пункта A в пункт Б, скорость его при этом равна

Ответ: 60.

3. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни.

Чему равно уско­ре­ние тела в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 30 до 40 с? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 30 до 40 с про­ек­ция ско­ро­сти тела не из­ме­ня­лась, а зна­чит, про­ек­ция уско­ре­ния была равна нулю.

Ответ: 0.

4. Пло­вец плы­вет по те­че­нию реки. Опре­де­ли­те ско­рость плов­ца от­но­си­тель­но бе­ре­га, если ско­рость плов­ца от­но­си­тель­но воды 0,4 м/с, а ско­рость те­че­ния реки 0,3 м/с. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

Ре­ше­ние.

Век­тор ско­ро­сти плов­ца от­но­си­тель­но бе­ре­га есть сумма век­то­ров ско­ро­сти плов­ца от­но­си­тель­но воды и ско­ро­сти те­че­ния реки:   По­сколь­ку пло­вец плы­вет по те­че­нию реки, по­лу­ча­ем, что для ве­ли­чин ско­ро­стей вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние: 

Ответ: 0,7.

5. Ве­ло­си­пе­дист, дви­га­ясь под уклон, про­ехал рас­сто­я­ние между двумя пунк­та­ми со ско­ро­стью, рав­ной 15 км/ч. Об­рат­но он ехал вдвое мед­лен­нее. Ка­ко­ва сред­няя пу­те­вая ско­рость на всем пути? (Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.)

Ре­ше­ние.

Не­об­хо­ди­мо раз­ли­чать два по­ня­тия: сред­нюю пу­те­вую ско­рость и сред­нюю ско­рость по пе­ре­ме­ще­нию. Сред­няя пу­те­вая ско­рость опре­де­ля­ет­ся как ско­рость про­хож­де­ния пути:   То есть, бук­валь­но, надо весь прой­ден­ный телом путь раз­де­лить на всё время, за­тра­чен­ное им на этот путь. Сред­няя пу­те­вая ско­рость пред­став­ля­ет собой число, ска­ляр.

Раз­берёмся те­перь со вто­рой сред­ней ско­ро­стью. Сред­няя ско­рость по пе­ре­ме­ще­нию — это век­тор, рав­ный от­но­ше­нию пе­ре­ме­ще­ния ко вре­ме­ни, за ко­то­рое оно со­вер­ше­но:   В нашей кон­крет­ной за­да­че, по­сколь­ку ве­ло­си­пе­дист вер­нул­ся в ис­ход­ную точку, его пе­ре­ме­ще­ние равно нулю, а зна­чит, его сред­няя ско­рость по пе­ре­ме­ще­нию тоже равна нулю.

Вы­чис­лим те­перь сред­нюю пу­те­вую ско­рость. Обо­зна­чим рас­сто­я­ние между двумя пунк­та­ми через   тогда весь путь, прой­ден­ный ве­ло­си­пе­ди­стом, равен   На первую по­ло­ви­ну пути ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил время   На об­рат­ную до­ро­гу — время   Всё время пути со­ста­ви­ло   Окон­ча­тель­но, на­хо­дим, что сред­няя пу­те­вая ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна

Ответ: 10.

6.  Тело дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но вдоль оси x. На гра­фи­ке пред­став­ле­на за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты тела от вре­ме­ни. В какой мо­мент вре­ме­ни мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки имел мак­си­маль­ное зна­че­ние? (Ответ дайте в се­кун­дах.)

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та тела равна   Мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния тела от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки в любой мо­мент опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем:   По­стро­им гра­фик этой функ­ции и опре­де­лим ее мак­си­мум. Из по­стро­ен­но­го гра­фи­ка ясно, что мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния от­но­си­тель­но ис­ход­ной точки мак­си­ма­лен при   и равен 20 м.

Ответ: 6.

7. Движение двух велосипедистов задано уравнениями   и   Найдите координату x места встречи велосипедистов. Велосипедисты двигаются вдоль одной прямой. (Ответ дайте в метрах.)

Решение.

Встреча двух велосипедистов означает, что у них в некоторый момент времени совпадут координаты. Определим, когда именно произойдет встреча, для этого решим уравнение   Теперь не составляет труда определить координату места встречи:

Ответ: 20.

8.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик дви­же­ния x(t) элек­тро­ка­ра. Опре­де­ли­те по этому гра­фи­ку путь, про­де­лан­ный элек­тро­ка­ром за ин­тер­вал вре­ме­ни от t₁ = 1 c до t₂ = 4 c. (Ответ дайте в мет­рах.)

Ре­ше­ние.

Путь — это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, по­ка­зы­ва­ю­щая прой­ден­ное телом рас­сто­я­ние. Иначе го­во­ря, это длина прой­ден­но­го участ­ка тра­ек­то­рии. Из гра­фи­ка видно, что в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 1 до 3 с элек­тро­кар дви­гал­ся в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии оси   При этом его ко­ор­ди­на­та из­ме­ни­лась на   По­след­нюю, чет­вер­тую, се­кун­ду элек­тро­кар дви­гал­ся в об­рат­ном на­прав­ле­нии, из­ме­не­ние его ко­ор­ди­на­ты на этом участ­ке равно   Таким об­ра­зом, путь, прой­ден­ный ма­шин­кой за ин­тер­вал вре­ме­ни от 1 до 4 с равен 

Ответ: 3.

9. Пешеход идет по прямолинейному участку дороги со скоростью 4 км/ч. Навстречу ему движется автобус со скоростью 40 км/ч. С какой скоростью (в км/ч) должен двигаться навстречу пешеходу велосипедист, чтобы модуль его скорости относительно пешехода и автобуса был одинаков?

Решение.

Обозначим искомую скорость велосипедиста через   Тогда, как видно из рисунка, велосипедист приближается к пешеходу со скоростью   а к автобусу — со скоростью 

Приравняв эти две скорости, находим требуемую скорость велосипедиста: 

Ответ: 18.

10. Пароход движется по реке против течения со скоростью 5 м/с относительно берега. Определите скорость течения реки, если скорость парохода относительно берега при движении в обратном направлении равна 8 м/с. (Ответ дайте в метрах в секунду.)

Решение.

Обозначим искомую скорость течения реки через   а скорость парохода в стоячей воде  — через   Тогда можно составить следующие уравнения. Скорость парохода вниз по течению равна   Скорость парохода вверх по течению:   Решая систему из двух этих уравнений, для скорости течения воды имеем 

Ответ: 1,5.

11.  На ри­сун­ке пред­став­ле­ны гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти прой­ден­но­го пути от вре­ме­ни для двух тел. На какую ве­ли­чи­ну Δv ско­рость вто­ро­го тела v₂ боль­ше ско­ро­сти пер­во­го тела v₁? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что для обоих тел прой­ден­ный путь ли­ней­но за­ви­сит от вре­ме­ни, а зна­чит, оба тела дви­га­лись с по­сто­ян­ны­ми по ве­ли­чи­не ско­ро­стя­ми. Мо­дуль ско­ро­сти пер­во­го тела равен   Ско­рость же вто­ро­го тела:   Сле­до­ва­тель­но, ско­рость вто­ро­го тела боль­ше ско­ро­сти пер­во­го тела на ве­ли­чи­ну 

Ответ: 10.

12.

Тела 1 и 2 дви­га­ют­ся вдоль оси x. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­нат дви­жу­щих­ся тел 1 и 2 от вре­ме­ни t. Чему равен мо­дуль ско­ро­сти 1 от­но­си­тель­но тела 2? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя гра­фик, опре­де­лим про­ек­ции ско­ро­стей обоих тел. Для тела 1 имеем

Для тела 2:

Таким об­ра­зом мо­дуль ско­ро­сти од­но­го тела от­но­си­тель­но дру­го­го равен

Ответ: 18.

13. Автобус везёт пассажиров по прямой дороге со скоростью 10 м/с. Пассажир равномерно идёт по салону автобуса со скоростью 1 м/с относительно автобуса, двигаясь от задней двери к кабине водителя. Чему равен модуль скорости пассажира относительно дороги? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

Решение.

Согласно закону сложения скоростей, скорость тела относительно «неподвижной системы отсчёта»   связана со скоростью этого тела относительно «подвижной системы отсчёта»   и скоростью движения «подвижной с. о.» относительно «неподвижной»   при помощи следующего соотношения:   В данном случае, так как пассажир двигается вдоль автобуса по направлению его движения, для скорости пассажира относительно дороги имеем: 

Ответ: 11.

14. Мо­то­цикл едет по пря­мой до­ро­ге с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 50 км/ч. По той же до­ро­ге нав­стре­чу ему едет ав­то­мо­биль с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 70 км/ч. Чему равен мо­дуль ско­ро­сти дви­же­ния мо­то­цик­ла от­но­си­тель­но ав­то­мо­би­ля? (Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.)

Ре­ше­ние.

Пе­рейдём в си­сте­му отсчёта, свя­зан­ную с ав­то­мо­би­лем. Мо­дуль ско­ро­сти дви­же­ния мо­то­цик­ла в дан­ной си­сте­ме отсчёта будет равен 50 + 70 = 120 км/ч.

Ответ: 120.

15. Мотоцикл едет по прямой дороге с постоянной скоростью 50 км/ч. По той же дороге в том же направлении едет автомобиль с постоянной скоростью 70 км/ч. Чему равен модуль скорости движения мотоцикла относительно автомобиля? (Ответ дайте в километрах в час.)

Решение.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с автомобилем. Модуль скорости движения мотоцикла в данной системе отсчёта будет равна |50 − 70| = 20 км/ч.

Ответ: 20.

16.  На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти пути S ве­ло­си­пе­ди­ста от вре­ме­ни t. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 50 до 70 с.

Ре­ше­ние.

За время от 50 до 70 с ве­ло­си­пе­дист про­ехал 250 − 100 = 150 м, зна­чит, его ско­рость равна 150 м : 20 с = 7,5 м/с.

Ответ: 7,5.

17.  На рисунке представлен график зависимости координаты х велосипедиста от времени t. Чему равен наибольший модуль проекции скорости велосипедиста на ось Оx? Ответ выразите в м/с.

Решение.

Из графика видно, что координата на каждом отдельном интервале времени изменяется линейно, следовательно, движение на каждом участке происходит с постоянной скоростью. Проекцию скорости велосипедиста на ось x на каждом интервале времени можно определить разделив разность координат в начале и в конце интервала на длительность интервала времени.

Интервал от 0 до 10 с: 

Интервал от 10 до 30 с: 

Интервал от 30 до 50 с: 

Интервал от 50 до 70 с: 

Наибольший модуль скорости составляет 10 м/с.

Ответ: 10.

18.  На рисунке представлен график зависимости координаты х велосипедиста от времени t. Чему равен наименьший модуль проекции скорости велосипедиста на ось Оx? Ответ выразите в м/с.

Решение.

Из графика видно, что координата на каждом отдельном интервале времени изменяется линейно, следовательно, движение на каждом участке происходит с постоянной скоростью. Проекцию скорости велосипедиста на ось x на каждом интервале времени можно определить разделив разность координат в начале и в конце интервала на длительность интервала времени.

Интервал от 0 до 10 с: 

Интервал от 10 до 30 с: 

Интервал от 30 до 50 с: 

Интервал от 50 до 70 с: 

Наименьший модуль скорости составляет 2,5 м/с.

Ответ: 2,5.

19.  На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты х ве­ло­си­пе­ди­ста от вре­ме­ни t. Чему равен наи­боль­ший мо­дуль про­ек­ции ско­ро­сти ве­ло­си­пе­ди­ста на ось Оx? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что ко­ор­ди­на­та на каж­дом от­дель­ном ин­тер­ва­ле вре­ме­ни из­ме­ня­ет­ся ли­ней­но, сле­до­ва­тель­но, дви­же­ние на каж­дом участ­ке про­ис­хо­дит с по­сто­ян­ной ско­ро­стью. Про­ек­цию ско­ро­сти ве­ло­си­пе­ди­ста на ось x на каж­дом ин­тер­ва­ле вре­ме­ни можно опре­де­лить раз­де­лив раз­ность ко­ор­ди­нат в на­ча­ле и в конце ин­тер­ва­ла на дли­тель­ность ин­тер­ва­ла вре­ме­ни.

Ин­тер­вал от 0 до 10 с: 

Ин­тер­вал от 10 до 30 с: 

Ин­тер­вал от 30 до 50 с: 

Ин­тер­вал от 50 до 70 с: 

Наи­боль­ший мо­дуль ско­ро­сти со­став­ля­ет 10 м/с.

Ответ: 10.

20.  На рисунке представлен график зависимости координаты х велосипедиста от времени t. Чему равен наименьший модуль проекции скорости велосипедиста на ось Оx? Ответ выразите в м/с.

Решение.

Из графика видно, что координата на каждом отдельном интервале времени изменяется линейно, следовательно, движение на каждом участке происходит с постоянной скоростью. Проекцию скорости велосипедиста на ось x на каждом интервале времени можно определить разделив разность координат в начале и в конце интервала на длительность интервала времени.

Интервал от 0 до 10 с: 

Интервал от 10 до 30 с: 

Интервал от 30 до 50 с: 

Интервал от 50 до 70 с: 

Наименьший модуль скорости составляет 2,5 м/с.

Ответ: 2,5.

21. Катер плывёт по прямой реке, двигаясь относительно берега перпендикулярно береговой линии. Модуль скорости катера относительно берега равен 6 км/ч. Река течёт со скоростью 4,5 км/ч. Чему равен модуль скорости катера относительно воды? Ответ выразите в км/ч.

Решение.

Вектор скорости катера относительно воды разложим на две компоненты:   где вектор   направлен параллельно берегу, а вектор   — перпендикулярно берегу. Для того чтобы катер в системе отсчёта, связанной с берегом, двигалась перпендикулярно к нему, необходимо, чтобы компонента скорости катера относительно воды вдоль реки   в точности компенсировала скорость течения   Тогда модуль скорости катера относительно воды будет равен (по теореме Пифагора)

Ответ: 7,5 км/ч.

22. Катер плывёт по прямой реке, двигаясь относительно берега перпендикулярно береговой линии. Модуль скорости катера относительно берега равен 4,8 км/ч. Река течёт со скоростью 3,6 км/ч. Чему равен модуль скорости катера относительно воды? Ответ выразите в км/ч.

Решение.

Вектор скорости катера относительно воды разложим на две компоненты:   где вектор   направлен параллельно берегу, а вектор   — перпендикулярно берегу. Для того, чтобы катер в системе отсчета, связанной с берегом, двигалась перпендикулярно к нему, необходимо, чтобы компонента скорости катера относительно воды вдоль реки   в точности компенсировала скорость течения u. Тогда модуль скорости катера относительно воды будет равен (по теореме Пифагора)

Ответ: 6 км/ч.