Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

II этап. Работа с математической моделью

III этап. Ответ на вопрос задачи

- 2 – не удовлетворяет условию задачи

В меню

Ответ: 12 км / ч .

Задача№3 .1 (тестирование 8 класс)

Составьте уравнение для решения задачи, приняв за x скорость велосипедиста.

Из посёлка в город выехал велосипедист. Через 2 часа вслед за ним из посёлка выехал мотоциклист, скорость которого на 15 км / ч больше скорости велосипедиста. В город они прибыли одновременно. Найдите скорость велосипедиста, если расстояние от посёлка до города 60 км.

3)

1)

2)

4)

В меню

НЕВЕРНО!

Задача№3 .2 (тестирование 8 класс)

Составьте уравнение для решения задачи, приняв за x скорость автобуса.

Из посёлка в город выехал автобус. Через 1 час навстречу ему из города в посёлок выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км / ч больше скорости автобуса. Они встретились на середине дороги, соединяющей посёлок и город. Найдите скорость легкового автомобиля, если расстояние от посёлка до города 480 км.

3)

1)

2)

4)

В меню

НЕВЕРНО!

Задача №3.3 (готовимся к ЕГЭ)

На 60 км пути велосипедист тратит на 4 ч больше времени, чем мотоциклист. Если же он увеличит скорость на 3 км / ч, то на тот же путь потратит в 4 раза больше времени, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста.

В меню

чем 60км ч y км / ч t 2 - ? 60км ч " width="640"

Решение

x км / ч

t 1 - ?, на 4ч чем

60км

ч

y км / ч

t 2 - ?

60км

ч

Если велосипедист увеличит скорость на 3 км / ч

( x + 3 ) км / ч

60км

ч

60км

ч

Рассмотрим систему уравнений:

Решаем второе уравнение:

15 x = 60( x+3 ) - 4 x ( x+3 );

x ( x+3 ) ≠ 0

4 x 2 – 33 x – 180 = 0;

x 1 = 12;

x 2 = - – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 12.

В меню

Задача №4 (№884)

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа.

I этап. Составление математической модели

n 2 + (n + 1) 2 – сумма квадратов чисел,

n(n + 1) - произведение чисел

n

n + 1

В меню

По условию задачи составим модель

n 2 + (n + 1) 2 - n(n + 1) = 307

II этап. Работа с математической моделью

…

n 2 + n – 306 = 0

n 1 = 34, n 2 = -36

III этап. Ответ на вопрос задачи

n 1 = 34, n 2 = -36 ( не удовлетворяет условию задачи)

n + 1 = 34 + 1 = 35

Ответ: 34, 35.

В меню

Задача №4.1 (тестирование 8 класс)

Составьте уравнение к задаче, приняв за x меньшее из чисел.

Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа.

• x ( x +17) = 468
• 2 x – 17 = 468
• x ( x -17) = 468
• 2 x + 17 = 468

В меню

НЕВЕРНО!

Задача №4. 2 (тестирование 8 класс)

Составьте уравнение к задаче, приняв за x меньшее из чисел.

Одно из чисел на 11 меньше другого, а их произведение равно 534. Найдите эти числа.

• 2 x +11 = 534
• 2 x – 11 = 534
• x ( x -11) = 534
• x ( x + 1 1) = 534

В меню

НЕВЕРНО!

y то x - 4 = y В меню " width="640"

Задача №4. 3 (готовимся к ЕГЭ)

Найдите двузначное число, если количество единиц в нём на 4 больше количества десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 90.

Решение:

x – количество

единиц в записи

данного числа,

y – количество десятков.

10 y + x x на 4 y

то x - 4 = y

В меню

Решение

10 y + x - искомое число

Согласно второму условию,

(10 y + x ) ∙ ( x + y ) = 90

Решим систему уравнений:

x - 4 = y ,

(10 y + x ) ∙ ( x + y ) = 90

Очевидно решение системы способом подстановки .

y = x – 4,

(10(x-4) + x)(x +x – 4) = 90.

Решаем второе уравнение:

(11 x – 40)(2x – 4) = 90

( 11 x – 40)(x – 2) = 45;

11x 2 – 62x + 80 = 45;

11x 2 – 62x +35 = 0.

Корни: x 1 = 5; x 2 = (не удовлетворяет условию задачи).

В искомом числе 5 единиц,  , десятков: 5 – 4 = 1.

Получим число: 10 ∙ 1 + 5 = 15.

Ответ:15.

В меню

Задача №5 (№935)

Сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30%. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка?

В меню

( x + 5 + 15) кг на 30% повысилось содержание " width="640"

Медь

Цинк

5кг

Цинк

Медь

Масса сплава ?

( x + 5) кг

Цинк 15кг

x кг

( x + 5 + 15) кг

на 30% повысилось содержание

Решение

I этап

Пусть в сплаве x кг меди, тогда ( x + 5) кг – масса первоначального сплава,

( x + 5 + 15) кг – масса полученного сплава.

- процентное содержание цинка

в первоначальном сплаве,

- процентное содержание цинка

в полученном сплаве. Составим математическую модель задачи – уравнение

II этап

2000 /(x+20) – 500/ ( x +5) = 30,

200 / ( x +20) – 50 / ( x +5) = 3,

…

( x 2 - 25 x + 100) / ( x + 5)( x + 20) = 0,

x = 20

x = 5, x = 20

( x + 5)( x + 20) ≠ 0, x = 5.

III этап

Т.к. первоначально было 5 кг цинка, а меди больше, чем цинка, то выбираем x = 20. Значит, масса сплава

5 + 20 = 25 (кг).

Ответ:25 кг.

В меню

Задача №5.1(готовимся к ЕГЭ)

Если слить 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получится 12%-ный раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15%-ный раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.

В меню

Анализ

Концентрация раствора – это процентное выражение отношения массы растворённого вещества к общей массе раствора.

При решении задач такого типа следует иметь ввиду , что во время смешивания сохраняются все массы, изменяется только их отношение.

Решение

Пусть концентрация H 2 SO 4 в первом растворе x% , а во втором растворе – y%.

(2 – 2 y/100) кг воды

(8 – 8 x/100) кг воды

(1 – y/100) кг воды

(1 – x/100 )кг воды

2 y/100 кг кислоты

y/100 кг кислоты

x/100 кг кислоты

8 x/100 кг кислоты

1 кг

2 кг

1 кг

8 кг

Второй раствор

Первый раствор

После смешивания получим раствор общей массой 10 кг

По условию получаем

раствор 12%-ной

концентрации,  ,в 10кг

р-ра будет 10 ∙ 12 /100 кг

кислоты. Получаем:

Преобразуем:

4 x + y=60

кг

кислоты

10 кг

Рассмотрим вторую ситуацию

Т.к. смесь получиться

15%-ной концентрации,

то в (1 + 1) кг смеси

должно содержаться

Ответ: 10 и 20.

кг

кислоты

кг

кислоты

кг кислоты

1 кг

1 кг

Получаем:

После преобразований: x + y = 30

Решим систему уравнений:

В меню

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ

  1      2    3    4    5     

Два оператора, работая вместе, могут набрать 40 страниц текста за 1ч. Работая отдельно, первый оператор на набор 90 страниц этого текста тратит на 5   ч больше, чем второй оператор на набор 25 страниц. За сколько часов второй оператор сможет набрать 275 страниц этого текста?

Ответ: 11.

В меню

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ

   1      2      3    4    5   

Пешеход рассчитывает попасть на станцию, расположенную в 20 км, к приходу поезда. Через 2,5 ч после отправления он сделал остановку на 15 мин, а затем увеличил первоначальную скорость на 1 км/ч и пришел на станцию к приходу поезда. С какой скоростью шел пешеход после остановки?

Ответ:6.

В меню

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ

    1    2      3      4    5    

Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Массы первого, второго и третьего веществ в этом наборе относятся как 5:8:12 . Массу первого  вещества увеличили на 8%, а второго – на 4%. На сколько процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы масса всего набора не изменилась?

Ответ: 6.

В меню

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ

    1    2    3      4      5    

Катер прошел 5 км против течения реки, а затем 21   км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч.

Ответ: 0,7

В меню

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ

  1    2    3    4      5     

Две машинистки, работая вместе, могут напечатать 22 страницы текста за 1 ч. Чтобы напечатать 120 страниц текста, первая машинистка потратит на 2 ч больше, чем вторая. За сколько часов первая машинистка сможет напечатать 300 страниц?

Ответ: 2.

В меню