Проектно-исследовательская работа «Загадочное число π »

МБОУ «Верхнемедведицкая средняя общеобразовательная школа»

Курского района Курской области

ПРОЕКТНО – ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«Загадочное число π »

Работу выполнили: обучающиеся 6 класса

Руководитель: Трофимова Е.А., учитель математики.

д. Верхняя Медведица

2019 год

«Мы никогда не стали бы разумными,

если бы исключили число из человеческой природы»

Платон

1. Введение.

В бесконечном множестве   чисел, так же как среди звезд Вселенной, выделяются отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства. Всмотритесь в натуральный ряд чисел – и вы найдете в нем много удивительного и диковинного, забавного и серьезного, неожиданного и курьезного. Видит тот, кто смотрит. Ведь люди и в летнюю звездную ночь не заметят… сияние  Полярной звезды, если не направят свой взор в безоблачную высь.

Переходя из класса в класс мы познакомились с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными числами. В этом году мы изучили иррациональные. Среди иррациональных чисел есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Оно встретилось нам при изучении темы «Длина окружности и площадь круга».

Интересны были практические задания на нахождение числового значения числа π.Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.

Актуальность: Пожалуй, в мире нет загадочней и интересней чисел, чем число π с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Это число не давало покоя всем ученым, особенно математикам. Именно в этой области не могут обойтись без законов великолепного числа π. С этим числом связано много других интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.  Знаете ли вы, что эта обыкновенная, на первый взгляд, буква намного интереснее при ближайшем рассмотрении и изучении, имеет свою историю, и даже имеет свой праздник? 

Проблема: Какие интересные факты связаны с числом π?

Объект число π.

Предмет интересные факты числа π.

Гипотеза: число π играет важную роль в математике.

Цель: Выявление роли числа π в математике.

Задачи:

1) изучить историю возникновения числа π;

2) найти необычные факты о числе π;

3) определить уровень знаний учащихся о числе π и вычислить приближенное значение отношения длины окружности к длине ее диаметра у разных предметов круглой формы.

Методы исследования: описание, анкетирование, счет и измерение.

2. Основная часть.

История числа π.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Число π, как считают специалисты, было впервые открыто вавилонянами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, история которой вошла в Библию. Однако недостаточно точное исчисление ими значения числа π привело к краху всего проекта. История числа π началась в Древнем Египте.

Египетские математики определяли значение числа π через площадь круга и считали примерно равным 3,160…

Уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа , которое получается из формулы площади круга диаметра d:

S = ( d – 1/9d ) ² = ( 1 – 1/9 ) ² d² .

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в 6 веке до н.э. ) имеется указание, из которого следует, что число “пи “ принимали равным дроби 3,162… Это значение приводит индийский математик 7 века Брахмагупта. Значение первых чисел в числе π  впервые правильно рассчитал одни из величайших математиков древнего мира, Архимед (род.287 – ум.212 г. до н. э.). Он представил это число в виде нескольких дробей.  

Именно он научно обосновал тот факт, что число Пи лежит между 223/71 и 22/7. Архимед вписывал в окружность многоугольники и описывал многоугольники вокруг той же окружности для оценки соотношения длины окружности к её диаметру. После этого увеличивал число сторон многоугольников и повторял процедуру.

Таким образом Архимед получил неплохое приближение числа Пи в виде 3,1419. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 10/71 и 3 1/7, а это означает, что  π  = 3,1419… Иначе говоря, Архимед указал границы числа

3,1408 Значение 3 1/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа  π  для прикладных задач. Более точное приближение 3 17/120 (π  =3,14166) нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление.

Китайские учёные в 3 веке использовали для p  значение 3 7/50, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чун Чжи получил приближение 355/113 (p =3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.

Европейские математики, наоборот,  не использовали символическое обозначение нуля в счетных системах до позднего средневековья, пока не вступили в контакт с индийскими и арабскими математиками. Аль-Хорезми (основатель алгебры) упорно работал над расчетами числа π     и добился первых четырёх чисел: 3,1416.

В первой половине 15 века в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик аль-Каши вычислил “пи” с 16 десятичными знаками.

С пустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью.

Т олько через 250 лет после аль -Каши его результат был превзойдён.

П оиски точного выражения числа  продолжались и после работ Ф.Виета. В начале 17 века голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен ( 1540 – 1610 ) – некоторые историки называют его Л.ван Кейлен – нашёл 32 знака. С тех пор (год публикации 1615 ) значение числа  с 32 знаками получило название числа Лудольфа.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова “периферия”, что в переводе означает "окружность"..

О бщеупотребительным введённое У.Джонсоном обозначение стало после работ Л.Эйлера, который воспользовался этим символом впервые в 1736 г.

К концу 19 века, после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа  p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

В современной математике число   p - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит она и в замечательную формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа “пи” и числа “е”. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа .

С появлением компьютеров наука шагнула далеко вперед, и к 2011 году ученые смогли вычислить значение числа π с точностью в 10 триллионов цифр после запятой

Запоминание числа π.

π в стихах:

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Ну и дальше надо знать,

Если мы вас спросим -

Это будет пять, три, пять,

Восемь, девять, восемь.

Вот и знаю я число, именуемое Пи.

(соответственно 3.141592).

Это я знаю и помню прекрасно."Пи" многие знаки мне лишни, напрасны. (соответственно 3.14159265358).

Английские стихи для запоминания числа "Пи"

Французы придумали значительно более эффектный стих. В нем в два с половиной раза больше знаков:

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа  π  после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибок. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число   до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось.

День числа π.

Н еофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π . Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.

Ещё одной датой, связанной с числом  π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» , так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π .

Практическое применение

Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона. В науке найдено соотношение, связывающее важнейшие константы: постоянную тонкой структуры, число π и золотое отношение (Ф), вытекающее из чисел Фибоначчи.

Алгебра:  π - иррациональное и трансцендентное число.

Тригонометрия: радианное измерение углов.

Планиметрия: длина окружности и её дуги; площадь круга и его частей.

Стереометрия: объем шара и частей; объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы.

Физика: теория относительности; квантовая механика; ядерная физика.

Теория вероятностей: формула Стирлинга для вычисления факториала.

Кроме этого, в астрономии, космонавтике, архитектуре, навигации, электронике и мн.др.

Простейшие измерения и вычисления по формуле C=πd.

ВЫВОД: отношение длины окружности к диаметру приближается к 3.

Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его.

Зная массы квадрата m_кв =10 г и вписанного в него круга m_кр =7,8 г., мы вычислим значения π.

π=4 m_кр / m_кв =4*5|6,7=3,01

π=4 m_кр / m_кв =4*7,2|9,6=3,00

π=4 m_кр / m_кв =4*8,3|10,6=3,13

Вывод: все данные числа близки к числу 3.

Проверка соотношений человеческого тела

π = 2· Ф· h/ H Ф=1,62 (число Фидия)

1) мои показатели H = 144 см, h = 140 см, π = 3,15

2) показатели одноклассника H = 162 см, h = 158 см, π = 3,16

3) показатели одноклассницы H = 155 см, h = 151 см, π = 3,16

Вывод: число π

Д изайнерская работа. Керамическая плитка для отделки ванной комнаты.

Как вычислить длину рулона линолеума, не разворачивая его?

Решение.

Н еобходимо измерить радиусы всех окружностей. Вычислить длины окружностей по формуле С=2πR. Сложить все результаты. Это и будет длина рулона.

Например.

R1=40, R2=38, R3=36, R4=34, R5=32, R6=30, R7=28.

Число π вокруг нас.

Г озекский круг.

Величественный неолитический Гозекский круг образован несколькими круговыми рвами, с воротами в определенных местах. Через эти ворота в определенные дни проникали солнечные лучи. Это доказывает, что Гозекский круг — одна из древнейших в мире обсерваторий. В самый короткий день 2005 года жители маленького городка Гозек имеют возможность наблюдать за удивительным зрелищем.

П ервые лучи восходящего солнца проникают через узкие врата древнего святилища, вычерчивая на земле полоску света, — точь в точь как тысячи лет назад… По версии археологов, Гозекский круг был построен еще в каменном веке для того, чтобы жрецы могли узнать о наступлении дня зимнего солнцестояния. К этому дню и была приурочена церемония открытия детально воссозданного реставраторами доисторического памятника.

Круг был обнаружен в 1991 при исследовании местности с самолёта, когда на пшеничном поле были обнаружены круглые очертания. При сравнении с данными GPS археологи обнаружили, что южные проходы отмечают наступление дней летнего и зимнего солнцестояний. Древний храм солнца составлял 75 метров в поперечнике и был опоясан двумя кольцами деревянного палисада 2,5-метровой высоты, с тремя воротами.

Пи в горах (Вистлер, Канада)

Камень с надписью Pi, найденный на греческом пляже. Памятник расположен в Парке скульптур (Нью-Джерси, США).

Памятник числу "пи" в Сиэтле.

П амятник числу π установлен на южном побережье Крымского полуострова близ города Кацевели.

П амятник числу π в городе Озёрск Челябинской области

П амятник числу π

есть в городе Тольятти.

Памятник числу π есть и в городе Волгограде.

Формула с ПИ в росписи коридора главного корпуса КПИ

В песне, которую певица так и назвала –
"Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141…

Отель «3.14», символизирующий основы нашего мира, очаровывает гостей оригинальным преломлением традиций разных стран и причудливыми стилистическими элементами. Отель расположен в Каннах, в 50 метрах от набережной Круазетт, в 80 км от Монако, в 52 км от Сан-Тропе, в 35 км от международного аэропорта в Ницце.

Книги о числе:

А.В. Жуков "Вездесущее число π ","О числе π ".

Ф. Кымпан "История числа π".

Художественный фильм «ПИ» американский психологический триллер 1998 года, первый полнометражный фильм режиссера Дарена Арановски. Назван по имени математической константы «ПИ».

Заключение

В своей работе мы подробнее познакомились с числом π - одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков. Узнали некоторые аспекты его богатейшей истории, а также интересные факты, связанные с этим числом.

Мы попытались опытным путем получить число π. Используя данные измерений, вычислили приближенные значения отношений длины окружности к длине ее диаметра у разных предметов круглой формы. Провели обработку и анализ результатов измерений. Все значения получились близкими к 3,14.

Гипотеза нашего исследования подтвердилась. Число π для жизни человека играет важную роль. Оно представляет собой не только научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, в архитектуре), связано с музыкой, природой.

Результаты исследовательской работы могут быть полезны обучающимся нашей школы, они помогут расширить их знания о числе π. Некоторые данные и темы в математике запоминаются достаточно трудно. Но с помощью открытия интересных фактов о числах, можно лучше запомнить темы. А использование приемов мнемоники позволит надолго запомнить приближенное значение числа π с точностью до 13 знаков после запятой.

Результаты проекта: презентация, книга

Список литературы

1. А. В. Жуков, Вездесущее число π. - М.: Едиториал УРСС, 2004;

2. Г. И. Глейзер, История математики в школе: 9 - 10 кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1983;

3. М. Балк, Математика после уроков. - М.: Просвещение, 1971;

4. Н.Я. Виленкин, Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений; М; Мнемозина, 2007;

5. О. В. Мантуров, Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 2. - М.: Просвещение, 1982;

6. С. Шумихин, А. Шумихина, Число π. История длиною в 4000 лет. - М.: Эксмо, 2011;

7. Универсальная школьная энциклопедия. Т. 2. М - Я/ Глав.ред. Е. Хлебалина. - М.: Аванта+, 2004.

Интернет-ресурсы:

1. storyof.ru/chisla/chto-oznachaet-chislo-pi/

2. nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/10/15/istoriya-vozniknoveniya-chisla-pi

3. chtooznachaet.ru/chislo_pi.html

4. festival.1september.ru/articles/522274/

5. natafriends.org/260-hoakin-navarro-sekrety-chisla-pi-pochemu-nerazreshima-zadacha-o-kvadrature-kruga.html

6. samara.kp.ru/daily/26206.4/3091610/

7. xn--80auyf7a.xn--p1ai/nauka.html

8. https://books.google.ru

9. piramidu.ru/piramidy/princip-zolotogo-secheniya-chislo-pi-i-egipetskie-piramidy.html

10. t-z-n.ru/prearch/docs/int_pi.pdf

11. dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/2244

12. www.arbuz.uz/t_e_pi.html

13. lenta.ru/

14. www.newscientist.com/blogs/nstv/2011/03/a-musical-interpretation-of-pi.html

15. www.scienceforum.ru/2013/102/1580