Проблема и особенность изучения темы «Системы счисления» в базовом курсе информатики

Проблема и особенность изучения темы «Системы счисления» в базовом курсе информатики

Данный вопрос является структурной частью содержательной линии "Представление информации".

Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную систему. Данная тема вносит вклад также и в фундаментальное математическое образование школьников.

Изучаемые вопросы:

• Позиционные и непозиционные системы счисления.

• Основные понятия позиционных систем: основание, алфавит.

• Развернутая форма представления чисел в позиционных системах.

• Перевод чисел из одной системы в другую.

• Особенности двоичной арифметики.

• Связь между двоичной и шестнадцатеричной системой.

Учитель ставит цели:

1. ввести понятие системы счисления;

2. сформировать понимание различия между позиционными и непозиционными системами счисления;

3. научить переводить целые числа из десятичной системы счисления в другие системы и обратно;

4. научить выполнять простейшие арифметические операции с двоичными числами.

В случае углубленного уровня изучения курса учитель дополнительно ставит цели:

5) научить осуществлять перевод целых и дробных десятичных чисел в другие позиционные системы счисления и обратный перевод;

6) научить переходить от записи двоичной информации к восьмеричной и шестнадцатеричной форме и осуществлять обратный переход.

Ученики, безусловно, знакомы с записью чисел как римскими, так и арабскими цифрами. Они привыкли видеть римские цифры в обозначении глав в книге, в указании столетий (ХХ в.) и т.д. Математические расчеты они всегда производили в арабской системе чисел.

С методической точки зрения бывает очень эффективным прием, когда учитель подводит учеников к самостоятельному, пусть маленькому, открытию. В данном случае желательно, чтобы ученики сами подошли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципом записи чисел. Сделать это можно, отталкиваясь от конкретного примера. Например, записать на доске два числа

ХХХ 333

Первое римское тридцать, второе арабское триста тридцать три.

Следует задать вопрос: «Чем отличается принцип записи многозначных чисел римскими и арабскими цифрами?» Скорее всего, дети не ответят так, как следует сразу. В этом случае нужно, указывая на отдельные цифры римского числа, спросить: «Что обозначает эта цифра? [Десять], «А эта цифра?» [Десять], «А эта?» [Десять] – «Как получается значение данного трехзначного числа?» [10 + 10 + 10 = 30].

Рассмотрим число 333. Снова следует задать вопросы: «Что обозначает в записи числа первая цифра справа?» - [Три единицы], «А вторая цифра?» - [Три десятка], «Третья цифра?» - [Три сотни]. «А как получается общее значение числа?» [3 + 30 +300 = 333].

Из этого диалога следуют все правила, которые учитель должен сообщить ученикам.

В римском способе записи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции этой цифры.

Множество цифр римской системы счисления: I (1), V (5), X (10), L (50), C – 100, D (500), М(1000)

В арабском способе значение, которое несет каждая цифра в записи числа, зависит не только от того, какая это цифра, но и от позиции, которую она занимает в числе.

Сделав ударение на слове «позиция» учитель сообщает, что римский способ записи чисел называется непозиционным, а арабский – позиционным. После этого следует ввести термин «система счисления».

Система счисления – это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Позиционные системы счисления стали основой современной математики. Следует сообщить детям, что как и в математике, в информатике будем работать только с числами в позиционных системах счисления.

Нужно дать понять ученикам, что позиционных систем счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом – множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр) называется основанием системы счисления.

Уместно спросить детей: «Почему арабская система называется десятичной системой счисления?» [Основание арабской системы счисления равно десяти, поэтому она называется десятичной] (p = 10).

Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления.

Системы с основанием не больше 10 используют только арабские цифры; если же основание больше 10, то в роли цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке.

Следует научить учеников записывать натуральный ряд чисел в различных позиционных системах. Объяснение следует проводить на примере десятичной системы, для которой вид натурального ряда чисел им хорошо известен:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …, 19, 20, …, 99, 100, 101, …

По такому же принципу строится натуральный ряд и в других системах счисления. Например, в четверичной системе (с основанием 4):

1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110, 111, …, 333, 1000, …

Наибольший интерес представляет натуральный ряд двоичных чисел:

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, …

Следует обратить внимание учеников на быстрый рост числа цифр. Для указания на основание системы, к которой относится число, вводим индексное обозначение. Например, 101₂, 34₈, 213₅, 284₁₆, 102₇ и т.д. Индекс всегда записывается десятичным числом.

Нужно сказать ученикам, что ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десятичные. Число 101₂ надо читать как один – ноль – один, а не «Сто один». Следует также понимать, что, например, 0,1₂ – это не одна десятая, а одна вторая, или 0,1₈ – это одна восьмая и т.д.

Сущность позиционного представления отражается в развернутой форме записи чисел.

Снова для объяснения нужно использовать десятичную систему счисления. Например:

6712,24₁₀ = 6000 + 700 + 10 + 2 + 0,2 + 0,04 =

= 6 ^. 10³ + 7 ^. 10² + 1^.10¹ + 2 ^. 10⁰ + 2 ^. 10 ^-1 +4 ^. 10^-2 =

развернутая форма записи числа

Слагаемые в этом выражении являются произведениями коэффициентов (значащих цифр числа) на степени числа 10 (основания системы счисления)

…, 10³, 10², 10¹, 10⁰, 10^-1, 10^-2, … - разрядные единицы

Аналогично можно получить развернутую форму чисел в других системах счисления. Например, для восьмеричного числа:

1758, 2₈ = 1 ^. 8³ + 7 ^. 8² + 5 ^. 8¹ + 8 ^. 8⁰ + 2 ^. 8^-1

для двоичного числа:

10110101₂ = 1 ^. 2⁷ + 0 ^. 2⁶ + 1 ^. 2⁵ + 1 ^. 2⁴ +0 ^. 2³ + 1 ^. 2² + 0 ^. 2¹ + 1 ^. 2⁰

В общем виде любое число х в позиционной системе счисления можно представить в виде:

х = а_k ^. р^k + а_k-1 ^. р^k-1 + … + а₁ ^. р¹ + а₀ ^. р⁰ + а_-1 ^. р^-1 + … + а_-n ^. р^-n,

где а_k – k^я цифра целой части числа х, записанного в системе счисления с основанием р;

а_-n - n^я цифра дробной части числа х, записанного в системе счисления с основанием р;

k + 1 – количество разрядов в целой части числа х;

n – количество разрядов в дробной части числа х.

С учетом этих обозначений запись числа х в любой позиционной системе счисления с основанием р имеет вид:

(а_k a_k-1 . . . a₁ a₀ a_-1 a_-2 . . . a_-n) _p

Следующий вопрос, изучаемый в этом разделе,- способы перевода чисел из одной системы в другую. Основная цель заключается в следующем: перевод чисел неизбежно связан с выполнением вычислений, т.к. нам хорошо знакома лишь десятичная арифметика, то любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.

246₈=2^.8²+4^.8¹+6^.8⁰=2^.64+4^.8+6=128+32+6=166₁₀

101101,1₂=1^.2⁵+0^.2⁴++1^.2³+1^.2²+0^.2¹+1^.2⁰+1^.2^-1=32+8+4+1+0,5=45,5₁₀

2ВF₁₆=2^.16²+11^.16¹+15^.16⁰=2^.256+176+15=512+176+15=703₁₀

Для вычисления значения числа по его развернутой форме записи существует удобный прием, который называется вычислительной схемой Горнера.

Развернутая запись числа преобразуется в эквивалентную форму с вложенными скобками.

Например,

246₈=2^.8²+4^.8¹+6^.8⁰=(2^.8+4)^.8+6=166₁₀

Схема Горнера сводит вычисление к минимальному числу операций.

В рамках минимального объема базового курса можно рассмотреть только приемы перевода целого числа x из десятичной системы в другую позиционную систему счисления с основанием р.

Общее правило перевода следующее: необходимо разделить число х на р. Полученный при этом остаток даст цифру, стоящую в 1-м разряде р-ичной записи числа х. Затем полученное частное снова разделить на р и снова запоминать полученный остаток - это будет цифра второго разряда и т.д. Такое последовательное деление продолжается до тех пор, пока частное не окажется меньше, чем основание системы счисления р. Это последнее частное будет цифрой старшего разряда.

13₁₀ =

²

13 2

12 6 2

1 6 3 2

0 2 1 13₁₀=1101₂

1

Источник: http://inf011.ucoz.ru/_ld/0/9_p8g.doc