![Предмет: геометрия Тема: признаки параллельности двух прямых, теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми Подготовила материал: Учитель по математике, МБОУ СШ № 30 города Дзержинск: Кобякова Анна Викторовна](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img0.jpg)
Предмет: геометрия Тема: признаки параллельности двух прямых, теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми
Подготовила материал: Учитель по математике, МБОУ СШ № 30 города Дзержинск: Кобякова Анна Викторовна
![Введение Прямая «с» называется секущей по отношению к прямым «а» и «b», если она пересекает их в двух точках. При пересечении прямых «a» и «b» секущей «с» образуется восемь углов, некоторые на рисунке 1 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия: Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6 Односторонние углы:4 и 5, 3 и 6 Соответственные углы:1 и 5, 4 и 8, 2 и 6,3 и 7. Рис.1](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img1.jpg)
Введение
Прямая «с» называется секущей по отношению к прямым «а» и «b», если она пересекает их в двух точках. При пересечении прямых «a» и «b» секущей «с» образуется восемь углов, некоторые на рисунке 1 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6
Односторонние углы:4 и 5, 3 и 6
Соответственные углы:1 и 5, 4 и 8, 2 и 6,3 и 7.
Рис.1
![Теорема №1 Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны Дано: прямые a и b, АВ- секущая угол 1 и угол 2- накрест лежащие, угол 1 = углу 2 (Рис.3) Доказать a || b](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img2.jpg)
Теорема №1
- Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
- Дано: прямые a и b, АВ- секущая угол 1 и угол 2- накрест лежащие, угол 1 = углу 2 (Рис.3)
- Доказать a || b
![Теорема №1 1 случай Предположим, что 1 = 2 = 90 градусов, т.е. эти углы прямые, получим «а» перпендикулярно АВ и «b» перпендикулярно АВ (Рис.4), следовательно, a||b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img3.jpg)
Теорема №1
- 1 случай
Предположим, что 1 = 2 = 90 градусов, т.е. эти углы прямые, получим «а» перпендикулярно АВ и «b» перпендикулярно АВ (Рис.4), следовательно, a||b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).
![Теорема №1 2 случай Предположим, что угол 1 и угол 2 - не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой «a» и продолжим его до пересечения с прямой «b» , точку пересечения ОН с прямой «b» обозначим Н1 (Рис. 5).](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img4.jpg)
Теорема №1
- 2 случай
- Предположим, что угол 1 и угол 2 - не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой «a» и продолжим его до пересечения с прямой «b» , точку пересечения ОН с прямой «b» обозначим Н1 (Рис. 5).
![Теорема №1 Получим ОНА = ОН1В по 2 признаку равенства треугольников (углы 3 и 4 вертикальные, т.к. получены при пересечении двух прямых АВ и НН1, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. угол 3 =угол 4, АО = ОВ, т.к. О - середина АВ, угол 1 = угол 2 по условию), следовательно, угол 5 =угол 6, значит, угол 6 - прямой, также как и угол 5 (т.к по построению ОН ). Получаем, НН1 перпендикулярен «а» как и НН1 к «b», значит a||b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img5.jpg)
Теорема №1
- Получим ОНА = ОН1В по 2 признаку равенства треугольников (углы 3 и 4 вертикальные, т.к. получены при пересечении двух прямых АВ и НН1, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. угол 3 =угол 4, АО = ОВ, т.к. О - середина АВ, угол 1 = угол 2 по условию), следовательно, угол 5 =угол 6, значит, угол 6 - прямой, также как и угол 5 (т.к по построению ОН ).
- Получаем, НН1 перпендикулярен «а» как и НН1 к «b», значит a||b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.
![Теорема №2 Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Дано: прямые a и b, АВ - секущая, угол 1 и угол 2 - соответственные, отсюда угол 1 = 2 (Рис.6). Доказать: a||b](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img6.jpg)
Теорема №2
- Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
- Дано: прямые a и b, АВ - секущая, угол 1 и угол 2 - соответственные, отсюда угол 1 = 2 (Рис.6).
- Доказать: a||b
![Теорема №2 Доказательство: По условию угол 1 = угол 2 и угол 2 = угол 3, т.к.они вертикальные, откуда угол 1 = угол 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img7.jpg)
Теорема №2
- Доказательство:
- По условию угол 1 = угол 2 и угол 2 = угол 3, т.к.они вертикальные, откуда угол 1 = угол 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.
![Теорема №3 Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны. Дано: прямые и , АВ - секущая, угол 1 и угол 2 - односторонние,угол 1 + угол 2 = 180 градусом (Рис.7). Доказать:a||b](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img8.jpg)
Теорема №3
- Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
- Дано: прямые и , АВ - секущая, угол 1 и угол 2 - односторонние,угол 1 + угол 2 = 180 градусом (Рис.7).
- Доказать:a||b
![Теорема №3 Доказательство: Углы 3 и угол 2 - смежные, значит по свойству смежных углов угол 3 + угол 2 = 180 градусов, откуда 3 угол = 180 градусов – 2 угол, при этом 1 угол + 2 угол = 180 градусов, откуда угол 1 = 180 градусов – 2 угол, тогда 1 угол = 3 угол, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно a||b, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img9.jpg)
Теорема №3
- Доказательство:
- Углы 3 и угол 2 - смежные, значит по свойству смежных углов угол 3 + угол 2 = 180 градусов, откуда 3 угол = 180 градусов – 2 угол, при этом 1 угол + 2 угол = 180 градусов, откуда угол 1 = 180 градусов – 2 угол, тогда 1 угол = 3 угол, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно a||b, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.
![Задачи к теме](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img10.jpg)
Задачи к теме
![Введение к теме: «теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми» Во всякой теореме различают две части: Условие и Заключение. Условие теоремы-это то, что дано, а заключение-то, что требуется доказать. Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением-вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать)](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img11.jpg)
Введение к теме: «теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми»
- Во всякой теореме различают две части: Условие и Заключение. Условие теоремы-это то, что дано, а заключение-то, что требуется доказать.
- Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением-вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать)
![Введение к теме: «теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми» Теоремой обратной данной называется такая теорма, в которой условием является заключение данной теоремы ,а заключением условием данной теоремы. Для этого докажем теоремы обратные трем теоремам](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img12.jpg)
Введение к теме: «теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми»
- Теоремой обратной данной называется такая теорма, в которой условием является заключение данной теоремы ,а заключением условием данной теоремы.
- Для этого докажем теоремы обратные трем теоремам
![Теоремы Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img13.jpg)
Теоремы
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны.
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
- Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
![Доказательство к теоремам Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей MN (c). Докажем, что накрест лежащие углы 3 и 6 равны. Допустим, что углы 3 и 6 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 6, так, чтобы угол PMN и угол 6 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР||b. Мы выяснили, что через точку М проходят две прямые (прямые a и МР), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и угол 3 равен углу 6.](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img14.jpg)
Доказательство к теоремам
- Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей MN (c). Докажем, что накрест лежащие углы 3 и 6 равны. Допустим, что углы 3 и 6 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 6, так, чтобы угол PMN и угол 6 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР||b. Мы выяснили, что через точку М проходят две прямые (прямые a и МР), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и угол 3 равен углу 6.
![Задачи к теме](https://fsd.videouroki.net/html/2020/09/13/v_5f5e2a16f28d0/img15.jpg)
Задачи к теме