Презентация. Векторы.

Векторы

9 класс

Учитель: Олейникова И.В.

Понятие вектора

• Определение.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом,

а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

• Рассмотрим произвольный отрезок.
• На нем можно указать два направления.

Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ , а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Понятие вектора

• На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой

Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец.

CDEF

LK

АВ

В

А

E

F

D

L

K

C

Понятие вектора

• Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней:
• Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом:

ММ = 0.

b

c

a

М

Понятие вектора

• Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ:

АВ = а = АВ = 5

с = 17

• Длина нулевого вектора считается равной нулю:

ММ = 0.

с

В

a

А

М

Коллинеарные векторы

b

а

• Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными .
• Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

c

m

d

s

n

L

Равенство векторов

а

c

• Определение.

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

а = b , если

• а b
• а = b

b

d

m

f

s

n

Сумма двух векторов

• Рассмотрим пример:

Петя из дома( D ) зашел к Васе( B ), а потом поехал в кинотеатр( К ).

В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK , Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор D К:

DK=DB+BK .

Вектор DK называется суммой векторов DB и BK .

B

K

D

Сумма двух векторов

Правило треугольника

Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b .

АС = а + b

b

B

a

b

a

C

A

Законы сложения векторов

1) а+ b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма

Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор А D = b . На этих векторах построим параллелограмм АВС D .

АС = АВ + B С = а+ b

АС = А D + D С = b+a

a

D

C

b

a

b

b

B

A

a

Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника

s=a+b+c+d+e+f

k+n+m+r+p= 0

n

m

d

c

r

b

e

k

p

O

a

f

s

Противоположные векторы

Пусть а – произвольный ненулевой вектор.

Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены.

a = АВ, b = BA

Вектор, противоположный вектору c , обозначается так: - c .

Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

c

B

a

-c

b

А

Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.

Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (- b ).

Задача. Даны векторы а и b . Построить вектор а – b .

b

-b

-b

а

а

a - b

Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b , длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k ≥ 0 и

противоположно направлены при k 0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

а

-2a

3а