
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Ключевые слова
- множество
- подмножество
- объединение множеств
- пересечение множеств
- дополнение

Понятие множества
Множество — совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое.
!

Способы задания множества
Попробуйте описать эти множества словесно, указав характеристическое свойство их элементов.
?

Способы задания множества
Любое ли множество можно задать перечислением всех элементов?
?

Способы задания множества
1 способ – для задания конечных множеств
2 способ – для задания любых множеств
!

Стандартные обозначения
Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A, B, C, …).
Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами и обозначаются строчными латинскими буквами.

Стандартные обозначения

Круги Эйлера
Для наглядного изображения множеств используются круги Эйлера.
Точки внутри круга считаются элементами множества.
М
М
х
х
●
●
x ∈ M
x ∉ M

Подмножество
Если каждый элемент множества P принадлежит множест- ву М , то говорят, что P есть подмножество М , и записывают:
P ⊂ М
Само множество М является своим подмножеством: М ⊂ М
М
Пустое множество является подмножеством М : ∅ ⊂ М
Р
Универсальное множество содержит все возможные подмножества одной приро-ды. Обозначается буквой U .
P ⊂ М

Пересечение множеств
Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов. Обозначается X ∩ Y.
!
Множества M и X не имеют общих элементов: M ∩ X = ∅
X
Y
X ∩ Y
P подмножество множества М : М ∩ P = P
Пересечение множеств М и М : М ∩ М = М
X ∩ Y

Объединение множеств
Объединением двух множеств X и Y называется мно-жество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов ( X ∪ Y ).
!
M ∪ ∅ = М
X
Y
X ∪ Y
P подмножество множества М : М ∪ P = М
Объединение множеств М и М : М ∪ М = М
X ∪ Y

Примеры пересечения и объединения множеств
X
Y
Y
X
?

Дополнение множества
Пусть множество P является подмножеством множества М . Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М , которые не вошли в P . Обозначается или P ’ .
!
М
Р
P ∪ = M

Мощность множества
Мощностью конечного множества называется число его элементов.
Мощность множества X обозначается | X |.
!
Мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.

Вопросы и задания
- Задайте путем перечисления всех элементов множество O всех цифр, используемых для записи чисел в восьмеричной системе счисления.
- Задайте путем перечисления всех элементов множество К всех цепочек из 0 и 1, состоящих ровно из трёх символов.
Проверка
Проверка

Вопросы и задания
- Пусть М={а, б, в}, P ={а, б, г, д, и}, K ={г, д, и}.
Запишите с помощью фигурных скобок или знака :
1) пересечение M и P 2) пересечение M и K 3) пересечение Р и K
4) объединение M и P 5) объединение M и K 6) объединение K и P
7) дополнение K до P 8) дополнение до M
Р
К
М
а
г
и
в
б
д

Вопросы и задания
B
A
C

Самое главное
- Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое.
- Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов.
- Объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.
- Пусть множество P является подмножеством множест- ва М. Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в P.
- Мощностью конечного множества называется число его элементов.

Информационные источники
- http://www.unikru.ru/userfiles/zoo-animal-friends-angela-waye.jpg
- http://download.4-designer.com/files/20140221/Childlike-cartoon-alphabet-vector-material-62504.jpg
- http://s4.pic4you.ru/y2014/07-04/12216/4477117.png
- http://azbukadekor.ru/upload/iblock/475/475cddb0ce49566682e02adfdffd946e.jpg
- http://st.gdefon.com/wallpapers_original/s/580857_babochki_raznotsvetnyie_radujnyie_5500x3765.jpg
- https://pixabay.com/static/uploads/photo/2013/07/12/13/16/pencil-146715__180.png

Множество О всех цифр, используемых для записи чисел в восьмеричной системе счисления:
О = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
К задачам

Множество множество К всех цепочек из 0 и 1, состоящих ровно из трёх символов:
К = { 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 }
К задачам