Презентация по алгебре "Квадратичная функция"

График

• y = ax 2 + bx + c,

• M ( x 0 , y 0 ) – вершина параболы:

y

x 2

x 0

x 1

x

y 0

M

X 1 , то f (X 2 )f (X 1 )) и убывание функции ( если X 2 X 1 , то f (X 2 )4. Промежутки знакопостоянства : f (x) 0 и f (x)5. Непрерывность функции (разрыв - нельзя провести график не отрываясь). 6. Наибольшее и наименьшее значение. " width="640"

Свойства функции

• 1. Нули функции: y= 0 (пересечения с осью Ох)
• 2.Точки пересечения с осью О y
• 3 .Возрастание функции ( если X 2 X 1 , то f (X 2 )f (X 1 )) и убывание функции ( если X 2 X 1 , то f (X 2 )
• 4. Промежутки знакопостоянства :

f (x) 0 и f (x)

• 5. Непрерывность функции (разрыв - нельзя провести график не отрываясь).
• 6. Наибольшее и наименьшее значение.

Функция y=x 2

Построим график функции y=x 2

x

y = x 2

- 3

9

- 2

- 1

4

0

1

0

1

1

2

4

3

9

у

2

0

1

2

х

-2

1 СПОСОБ.

Схема построения графика квадратичной функции y = a x 2 - b x + c :

• Построить вершину параболы.
• Провести через вершину параболы прямую,

параллельную оси ординат, - ось симметрии

параболы.

• Найти нули функции, если они есть, и построить

на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

• Построить дополнительные точки.
• Провести через построенные точки параболу.

2 СПОСОБ.

Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трёхчлена a x 2 - b x+ c .

Схема построения параболы:

у = х 2 – 4 х + 3

• Найти координаты

вершины параболы: М (2;-1).

у

3

2

1

• Провести ось симметрии: х = 2.

• Найти нули функции при у = 0:

(1;0) и (3;0)

3

0

-1

2

1

х

-1

• Найти дополнительные точки:

при х =0, у =3; при х =4, у =3.

• Соединить полученные точки.

0. M(x 0 ; y 0 )- вершина параболы x 0 = ; x 0 = -12 : 6 = -2 y 0 = 3(-2) 2 +12(-2)+9 = -3 . M(-2 ; 3) Прямая х = -2 – ось симметрии Нули функции: y=0 3x 2 +12x+9 = 0 x 2 + 4 x+ 3 = 0 x 1 = -1 , x 2 = -3 2 а - b у 9 3 1 -3 -2 -1 1 0 x -3 x y 0 - 1 9 0 " width="640"

Пример №1

y = 3x 2 + 12x + 9

Графиком функции является парабола , ветви параболы

направлены вверх , т.к. а = 3, a 0.

M(x 0 ; y 0 )- вершина параболы

x 0 = ; x 0 = -12 : 6 = -2

y 0 = 3(-2) 2 +12(-2)+9 = -3 . M(-2 ; 3)

Прямая х = -2 – ось симметрии

Нули функции: y=0

3x 2 +12x+9 = 0

x 2 + 4 x+ 3 = 0

x 1 = -1 , x 2 = -3

2 а

- b

у

9

3

1

-3

-2

-1

1

0

x

-3

x

y

0

- 1

9

0

0. M(x 0 ; y 0 )- вершина параболы x 0 = ; x 0 = -2 : ½ = - 4 y 0 = ¼ (- 4 ) 2 +2(- 4 ) -5 = - 9. M(- 4;-9 ) Прямая х = -4 – ось симметрии Нули функции: y=0 ¼ x 2 + 2x – 5 = 0 x 2 + 8 x – 20 = 0 x 1 = -1 0 , x 2 = 2 - b 2 а у 1 0 -4 x -1 2 -10 -3 x y 0 -5 -2 - 8 -6 -9 " width="640"

Пример №2

y = ¼ x 2 + 2x – 5

Графиком функции является парабола , ветви параболы

направлены вверх , т.к. а = ¼ , a 0.

M(x 0 ; y 0 )- вершина параболы

x 0 = ; x 0 = -2 : ½ = - 4

y 0 = ¼ (- 4 ) 2 +2(- 4 ) -5 = - 9. M(- 4;-9 )

Прямая х = -4 – ось симметрии

Нули функции: y=0

¼ x 2 + 2x – 5 = 0

x 2 + 8 x – 20 = 0

x 1 = -1 0 , x 2 = 2

- b

2 а

у

1

0

-4

x

-1

2

-10

-3

x

y

0

-5

-2

- 8

-6

-9

Пример №3

Построим график функции y=x 2 -4x+5.

• 1) Найдём точки графика, имеющие ординату, равную 5. Для этого решаем уравнение x 2 – 4 x + 5 = 5. Получаем: х 1 = 0, х 2 = 4
• 2) Точки А (0; 5) и В (4; 5) лежат на параболе и имеют одинаковую ординату. Эти точки симметричны относительно оси симметрии параболы, поэтому ось симметрии проходит через середину отрезка АВ . Т.к. абсцисса точки А равна 0, а т. В равна четырём , то уравнение оси параболы х = 2.
• 3) Подставим значение х в уравнение. Получаем координаты вершины параболы: х 0 = 2, у 0 = 1.
• 4) Отмечаем на координатной плоскости т. С (2; 1), построим параболу, проходящую через три точки А , В , С .

у

А

В

5

у=х 2 -4х+5

С

0

х

Работа с учебником:

№ 195,

196,

202,

207(б,в)

Домашняя работа:

П. 2.1., № 199, 207(а,г)

0 1 2 -2 0 -2 0 1 2 х х 2 Построим график функции y=-2x 2 а‹0 x - 3 y = 2 x 2 - 2 - 1 8 - 1 -8 0 -2 0 1 2 -2 3 -8 -18 у=-2х 2 " width="640"

Функция y=ax 2

у

Построим график функции y=2x 2

у=2х 2

x

y = 2 x 2

- 3

- 2

1 8

- 1

8

0

2

1

0

2

2

8

3

18

2

у

а0

1

2

-2

0

-2

0

1

2

х

х

2

Построим график функции y=-2x 2

а‹0

x

- 3

y = 2 x 2

- 2

- 1 8

- 1

-8

0

-2

0

1

2

-2

3

-8

-18

у=-2х 2

0 ветви параболы направлены вверх, при a" width="640"

График и свойства функции y=ax 2

Графиком функции y=ax 2 , где a≠0 , является парабола с вершиной в начале координат ;

её осью симметрии служит ось y;

при a0 ветви параболы направлены вверх,

при a

0 ветви параболы направлены вверх При a ветви параболы направлены вниз " width="640"

Свойства квадратичной функции

у = ах ²

При a0 ветви параболы направлены вверх

При a ветви параболы направлены вниз

0 y y = 2x 2 1. Д (у) = R 2. Е (у)= [0; + ∞ ) 3. четная, т.к. у(-х) = у(х) 4. Возрастает на промежутке [0; + ∞ ) 5. Убывает на промежутке (- ∞; 0] 6. Наименьшее значение равное 0 при х = 0 y = x 2 y = 0,5x 2 x " width="640"

Свойства у = ах 2 при а 0

y

y = 2x 2

1. Д (у) = R

2. Е (у)= [0; + ∞ )

3. четная, т.к. у(-х) = у(х)

4. Возрастает

на промежутке [0; + ∞ )

5. Убывает

на промежутке (- ∞; 0]

6. Наименьшее значение

равное 0 при х = 0

y = x 2

y = 0,5x 2

x

Свойства у = ах 2 при а

y

1. Д (у) = R

2. Е (у)= (- ∞; 0]

3. четная, т.к. у(-х) = у(х)

4. Возрастает

на промежутке (- ∞; 0]

5. Убывает

на промежутке [0; + ∞ )

6. Наибольшее значение

равное 0 при х = 0

x

y = - 0,5x 2

y = - x 2

y = - 2x 2

0 , или на | g | единиц вниз, если g 2. Чтобы построить график функции y = a ( x + p ) 2 , нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси x на p единиц влево, если p 0 , или на | p | единиц вправо, если p p ; 0). 3. Чтобы построить график функции y = a ( x + p ) 2 + g , нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси x на p единиц влево, если p 0 , или на | p | единиц вправо, если p y на g единиц вверх, если g 0 , или на | g | единиц вниз, если g " width="640"

Сдвиг графика функции y = ax 2 вдоль осей координат

• 1. Чтобы построить график функции y = ax 2 + g , нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси на g единиц вверх, если g 0 , или на | g | единиц вниз, если g
• 2. Чтобы построить график функции y = a ( x + p ) 2 , нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси x на p единиц влево, если p 0 , или на | p | единиц вправо, если p p ; 0).
• 3. Чтобы построить график функции y = a ( x + p ) 2 + g , нужно перенести параболу y = ax 2 вдоль оси x на p единиц влево, если p 0 , или на | p | единиц вправо, если p y на g единиц вверх, если g 0 , или на | g | единиц вниз, если g

0 2) g Данный график получается смещением параболы у = ах² по оси Оу на g единиц вверх (если g 0) или вниз (если g 0) " width="640"

Функция у = ах 2 + g

1) g 0 2) g

Данный график получается

смещением параболы у = ах² по оси Оу на g единиц вверх (если g 0) или вниз (если g 0)

0 2) р 0 График получается смещением параболы у = ах ² по оси Ох на р единиц вправо ( если р 0) или влево (если р " width="640"

Функция у = а ( х – р ) ²

1) р 0 2) р 0

График получается

смещением параболы у = ах ² по оси Ох на р единиц вправо ( если р 0) или влево (если р

Способы построения графика квадратичной функции

1 СПОСОБ

Пример №1

Пример №2

Схема

2 СПОСОБ

Пример №3

3 СПОСОБ

Пример №4

Пример №5

1 СПОСОБ.

Схема построения графика квадратичной функции y = a x 2 - b x + c :

• Построить вершину параболы.
• Провести через вершину параболы прямую,

параллельную оси ординат, - ось симметрии

параболы.

• Найти нули функции, если они есть, и построить

на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

• Построить дополнительные точки.
• Провести через построенные точки параболу.

2 СПОСОБ.

Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трёхчлена a x 2 - b x+ c .

3 СПОСОБ.

y=a(x-m) 2 + n

График функции y=a(x-m) 2 +n получается

сдвигом графика функции y = ax 2

на m единичных отрезков по оси Ох и

на n единичных отрезков по оси Оу.

Пример №4

Построим график функции y=2(x+1) 2 -3.

Будем действовать следующим образом:

1)Построим параболу y=2x 2 ;

2)Перенесем ее на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз –

в результате получится график заданной функции y=2(x+1) 2 - 3 (см.рис)

Действия , которые мы выполнили для построения графика , можно описать такой схемой:

y=2x 2

Влево на 1 ед.

y=2(x+1) 2

Вниз на 3 ед.

y=2(x+1) 2 - 3