Презентация на тему Однородные тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения первой степени

• Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
• Если a ≠ 0 , b ≠ 0 , то для решения обе части уравнения разделим на cos x , и получим:

Пример 1.

• Решите уравнение:

Пример 1. Решение

Разделим обе части на

Получим:

Ответ: ,

Пример 2.

• Решите уравнение:

Пример 2. Решение

По формулам приведения преобразуем обе части уравнения:

Получим

Пример 2. Решение

Разделим обе части на

Ответ: ,

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

• Уравнение вида

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0

называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Алгоритм решения уравнения

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0

• Если a≠0, c≠0, то:
• 1. Уравнение решается делением обеих его частей на cos 2 x и последующим введением новой переменной z =tg x

Алгоритм решения уравнения

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0

• Если a=0 ( или c=0), то:
• 2. Уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносим cos x (или sin x)

• Решаем два уравнения:

и

Пример 3.

• Решите уравнение:

Пример 3. Решение

Разделим обе части на , получим:

Введем новую переменную z =tg x:

Решив квадратное уравнение получим:

,

Пример 3. Решение

Значит ,

Из первого уравнения получаем:

, т.е.

Из второго уравнения находим:

Ответ: , ,

Пример 4.

• Решите уравнение:

Пример 4. Решение

Выносим за скобку :

Решаем два уравнения:

и

из первого уравнения находим

Пример 4. Решение

Делим обе части на :

Ответ: , ,

Пример 5.

• Решите уравнение:

Пример 5. Решение

Обратим внимание на то, что уравнение в правой части содержится не 0, а 2. Значит это не однородное уравнение.

Преобразуем по основному тригонометрическому тождеству:

Пример 5. Решение

Подставив в изначальное уравнение полученное выражение получим:

Приведем к виду однородного тригонометрического уравнения второй степени:

Пример 5. Решение

Разделим обе части почленно на :

Введем новую переменную :

Решив квадратное уравнение, получим:

Пример 5. Решение

Итак,

Ответ: ,

Сомастоятельная работа